Xをノルム空間とし、Yをその線形部分空間とする。商ノルムがX / Yで定義されている場合、部分空間Y

Xをノルム空間とし、Yをその線形部分空間とする。商ノルムがX / Yで定義されている場合、部分空間Yが閉じていると見なされるのはなぜですか？

質問者からの補足コメント

• 商ノルムの定義です
  
  
  https://planetmath.org/QuotientNorm

    補足日時：2020/05/20 17:06

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/20 16:24

「商ノルム」って何じゃい？

「商ノルム空間」って言葉はあるが、あれは
「(商ノルム)空間」じゃなく「商(ノルム空間)」だからね。

半ノルム ρ を持つ線型空間 V について Z = { z∈V | ρ(z)=0 } を考えると、
Z は V の部分線型空間であり、ρ は商空間 V/Z 上のノルムになっている。
この (V/Z,ρ) を半ノルム空間 (V,ρ) が導く「商ノルム空間」という。
「商ノルム」ってものがあるわけじゃあない。