親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

『位数が120の有限アーベル群は同型を除いて何個あるか?』


これはアーベル群の元の個数を答えればいいのでしょうか?
巡回群→アーベル群であるから
位数が120の巡回群の生成元の個数nはEuler関数ψを用いて
n=ψ(120)=120*(1-1/2)*(1-/3)*(1-1/5)=32
より32個

であってますか?
明日試験で困ってます。どなたかご教授下さい。

◆疑問点
1:巡回群→アーベル群ですが、アーベル群→巡回群はいえないので上のでは正しくない(不足しているものがあう可能性がある)?
2:同型を除いて…同型がいまいちよくわかりません

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A 回答 (3件)

答えは32じゃあまずいと思います…


有限アーベル群の構造定理はご存知ですか?
有限アーベル群は不変系と呼ばれる数字の組み合わせだけで同型類が決定されます。
位数が120の場合、素因数分解が
120=2^3*3*5
なので、不変系は(120)、(2,60)、(2,2,30)の3種類です。
よって位数120のアーベル群の同型類は3つだけです。

不変系などに関しては適当な代数の参考書にのっているので、参照してみてください。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
試験は終わりましたが、これから春休みの間に復習してみようと思います

お礼日時:2009/02/18 00:29

位数120のアーベル群の一つとして、巡回群があるということです。


巡回群以外にも、位数120のアーベル群が存在する可能性はあります。
それらを調べよ、ということです。
同型を除いてということは、G1、G2が位数120のアーベル群で、
G1とG2が同型ならば、この二つは同じ群であるとみなし、一つ
と数えるということです。
ちょうど、合同な三角形は同じものとみなす、というような感じです。
同型ならば、群としての代数構造は同じなので、同じ群とみなします。
群としての構造を考えるときは、群の要素が、数であろうが、行列
であろうが、写像であろうが、何を表しているかは関係なく、単に
演算の構造のみを見るということです。
多分、群の直積などを考えれば良いのだと思います。
何か、有用な定理などもありそうですが・・・
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

私自身内容を理解できてませんが、どうやら答えは32でいいようなので同じような問題が出たら、とりあえずこのように解いて、後日復習しようと思います

お礼日時:2009/01/27 21:11

根本的に間違っているので、まずは教科書を最初から読みなおして下さい。


アーベル群がいくつあるかという問題とアーベル群の元の個数はいくつかという問題は違います。
また、群の元の個数を位数というので、位数が120なら元の個数も120です。

位数120の巡回群で一個です。他にも位数120のアーベル群があります。たとえば位数60の巡回群と位数2の巡回群の直積です。そういった群が全部でいくつあるかという問題です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
やっぱまじめに授業受けてなかったツケがまわってきましたか…

この授業、教科書ないんですよね…ネット調べてがんばります

お礼日時:2009/01/27 21:09

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Q位数6の群を分類したいです。

Gを位数が6の群とする
G≅Z/6Z or S3 のどちらかに同型になることを示したいのですが、
シローの定理からP3:3-Sylow部分群 s3:P3の個数 P2:2-Sylow部分群 s2:P2の個数
とすると、シローの定理からs3=1、s2=1,3となり、
(1)s2=1の時は、G≅Z/2Z×Z/3Z≅Z/6Z
ということは分かったのですが、
(2)s2=3の時はG≅S3になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。
教えていただけませんですか?

Aベストアンサー

シローの定理より
2シロー群{e,a}が存在
3シロー群{e,b,b^2}が存在.3シロー群はひとつしかない.

そこで ab の位数 o(ab) を考える

o(ab)=1,2,3,6である

o(ab)=1ならば ab=e,b=a^{-1}=aで不適

o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので
Gは巡回群Z/6Z

o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1}
つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは
三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3

o(ab)=3ならば
abが生成する巡回群<ab>は3シロー群
3シロー群はひとつしかないので
ab=e,b,b^2
ab=eは不適
ab=bも不適
ab=b^2も不適
よってo(ab)は3とはならない

以上より
位数6の有限群は
巡回群か3次の対称群

実際はもっと強いことがいえて
素数p,qに対して
位数pqの群が決定できます
シローの定理と自己同型の組合せ
♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります

Q同型写像の証明問題

問題)f:R^n→R^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

以上の問題の方針として、Vを集合とした時に写像f:V→V、g:V→Vにおいてf◦g=idv、g◦f=idvならば、f、gは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを
どのように定義していますか?

まあ,実際は
「全単射な線型写像があれば,その逆写像も線型である」
を示せば十分なのでしょう.

任意のベクトルx,y,任意のスカラーk,lに対して,
あるベクトルa,bが存在して
a=f(x), b=f(y)とおける.fは線型なので
ka+lb=f(kx+ly),よって,
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって,f^{-1}も線型

Q同型とは?

複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を...続きを読む

Q群Gの元aの位数

35歳すぎにして、代数学の初心者です。
代数における群Gの元aの位数の意味がよくわかりません。位数って群の元の数ですよね?ってことは、元aが位数を持つということは、元aも群だということなのでしょうか?元aは群Gの部分群でないと、元aは位数を持たないのでしょうか?
これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。
どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#4です。
補足に対して少しお答えします。
群に入っている演算は何でもいいわけですが
乗法が分かりやすいし、よく説明に使われると思うので
(質問にa^nという表現もあることですし)
乗法で話をします。

群は演算に関して閉じています。
だからaがあればaを何回か掛けてできる数は全部入って
いなければいけません。

よってa^nはGに入っています。(当然nは自然数)
Gの位数が有限ならa^nはどこかで繰り返しにならないとGの位数より個数が増えてしまいます。
証明は難しく無いですが略します。感覚的にはわかってもらえると思います。

だからa^n=e(単位元)となるnが存在するといえる
わけです。1回繰り返しになれば後はその倍数で繰り返し
になりますので「最小の」と断ったのです。

(乗法の例
1のn乗根a^n=1乗法の単位元

加法でいえばa,2a,3a・・・・,na=0加法の単位元
となります。例:割り算したときの余り)

Q数学の3大分野、代数・幾何・解析

数学の3大分野は、代数・幾何・解析といわれると思います。

僕もそれには一応納得できますが、なんらかの違和感を持っています。

数学を表現するのに、記号や数学的文字や数式や論理式などを含む文字的側面と、図形的側面に大別されると思います。

それで、代数・幾何が対照的に思いますが、解析という分野の位置づけが僕にはあいまいなのです。

たとえば、別の何かと比較して、解析という分野の位置づけをとらえれないでしょうか?

Aベストアンサー

初等数学の「単元」をあげると、
「式の計算」「方程式」「関数」「平面図形」「空間図形」「確率・統計」
となります。

「式の計算」「方程式」が代数分野
「平面図形」「空間図形」が幾何分野です。

「関数」は広い意味では解析分野で
「確率・統計」は統計分野とくくったら良いでしょうか。

統計分野は数理的統計であっても、抽象化に限界がありますし、抽象化していくと、確率密度変数を扱う関数の研究が主命題になります。
ですから、わかりやすい分類としては、「代数・幾何・解析」とする考え方があるのでしょう。

ただ、あくまでこれは話をおおづかみにとらえるための方法であって、座標で図形を扱う解析幾何学では方程式が頻繁に出てきますし、微分積分に代数計算が必要であることは言うまでもありません。

しいて、「解析」の反対の概念をさがすなら、「解析しない数学」つまり、動かない数の世界である「算数」のことになるのではないでしょうか。

Q閉区間[-1,1]がコンパクトである事の証明は?

こんにちは。

閉区間[-1,1]がコンパクトである事はどうやって証明すればいいのでしょうか?

RはT:={(a,b)∈2^R;a,b∈R}を位相として位相空間をなしますよね。
[-1,1]の開被覆の集合{A∈2^T;[-1,1]⊂∪[B∈A]B}:=C
∀A∈Cを採った時、どのように有限個のB1,B2,…,Bn∈Aを選べば
[-1,1]⊂∪[i=1..n]Bi
と出来るのでしょうか?

Aベストアンサー

No1です。

閉区間列S1、S2、…、Sn、…はいずれも空でありませんから(∵有限個の開集合で覆いきれない閉区間列と仮定しているので、もし空ならひとつの開集合で覆えてしまう)、いまSiの元をsiと記すことにします。(i=1,2,…)
m>nのときsm∈Sm⊂Snでありsn∈Snだから|sm-sn|≦(1/2)^(n-1) が成立。(Snの区間の長さは、作り方によりS0が2でS1が1でS2が1/2…となっているから)

よって、点列snはコーシー列を成すことがわかる。実数の完備性により点列snの極限が存在する。それをsとおく。(つまりlim sn = s)



このとき∩Sn={s}が成立。

証明:

(∩Sn⊃{s}について) nを任意に与えられた自然数とする。m≧nとなる任意の自然数mに対し、sm∈Sm⊂Snが成立。Snが閉区間であるのでs=lim sm ∈Sn が成立。ゆえに∩Sn⊃{s}が成立。

(∩Sn⊂{s}について) x∈∩Snとする。すると任意の自然数nに対しx∈Snである。ここで、上で示したように∩Sn⊃{s}が成立しているから、s∈Snである。よって|x-s|≦(1/2)^(n-1)が成立。nは任意であったので、|x-s|=0でなくてはならない。よって、x=s∈{s}である。

No1です。

閉区間列S1、S2、…、Sn、…はいずれも空でありませんから(∵有限個の開集合で覆いきれない閉区間列と仮定しているので、もし空ならひとつの開集合で覆えてしまう)、いまSiの元をsiと記すことにします。(i=1,2,…)
m>nのときsm∈Sm⊂Snでありsn∈Snだから|sm-sn|≦(1/2)^(n-1) が成立。(Snの区間の長さは、作り方によりS0が2でS1が1でS2が1/2…となっているから)

よって、点列snはコーシー列を成すことがわかる。実数の完備性により点列snの極限が存在する。それをsとおく。(つまりlim sn = s)



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Q有限アーベル群Gの位数が相異なる2素数p、qの積であるとき、Gは巡回群

有限アーベル群Gの位数が相異なる2素数p、qの積であるとき、Gは巡回群であることを示せ。


という問題があるのですがよくわかりません。できれば詳しく教えていただけると嬉しいです!

Aベストアンサー

大抵の教科書に書いてありませんか?
構造定理を使わずに、手作りっぽく
書いてみると…

G の元で、単位元でないモノの一つを a とし、
a が生成する G の部分群を A とする。
A の位数は、ラグランジェの定理より、
G の位数の約数 1,p,q,pq のどれかになる。
(0) 位数が 1 の場合。
a が単位元でないから、これはありえない。
(1) 位数が p の場合。
可換群の部分群は全て正規部分群だから、
G は A と商群 G/A の直積に分解する。
A,G/A は位数 p,q の部分群であり、
素数位数だから巡回群である。
巡回群同士の直積群は、巡回群となる。
(2) 位数が q の場合。
同上。
(3) 位数が pq の場合。
単項生成の部分群は巡回群だから、
G = A は位数 pq の巡回群になる。

Q表現行列の求め方

行列
1 2 -1 4
0 1 2 3
2 3 -4 5
に対応する線形写像f:R4→R3について
R4の標準基底{e1,e2,e3,e4},R3の基底{(1 1 2),(3 5 4),(1 1 1)}に関するfの表現行列
はどうやって求めたらいいのでしょうか。
試験が近いのですがこのあたりがよく分からなくて詰まっています。
よろしければ回答お願いします。

Aベストアンサー

質問冒頭の行列が、R4, R3 各標準基底上の
f の表現行列です。これを F と名付けましょう。
所与の R3 の基底を列ベクトルとして並べた
行列を P と置くと、求める行列は、
行列積 (Pの逆行列)F で表されます。
R4 の側も別に基底を指定するようなら、
その基底を列ベクトルとして並べた
行列を Q と置いて、求める行列は、
(Pの逆行列)FQ です。
今回は、Q が単位行列ですね。

Q環の準同型定理

今、環の準同型定理で詰まっています。
これはどういうことを表しているのですか?
また証明も知りたいです

Aベストアンサー

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+ker f=a'+ker f 、b+ker f=b'+ker f ならば ab+ker f=a'b'+ker f を示せばよい。
言い換えると、a-a' , b-b'∈ker f ならば ab-a'b'∈ker f を示せばよい。
これは ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b' と変形すれば示せる。
この乗法は R から自然に入るので、結合則も分配法則も従う。
また、1+ker f は R/ker f の単位元であることも容易に示せる。

次に、写像 F : a+ker f → f(a) が同型写像であることをいう。
これはすでに加法群の同型写像なので、F((a+ker f)(b+ker f))=F(a+ker f)F(b+ker f) 、F(1+ker f)=1' を示せばよい。これは容易だ。


要するに環の準同型定理とは、R/ker f には R から引き継いだ環の代数構造が自然に入って環になり、f(R) もまた R から、折り畳まれながら押し付けられてできた新しい環の構造が R' の中にもともとあった部分環として実現されていて、それらの環の構造はぴったり同じであるということである。
その対応は準同型写像 f から引き起こされる。


【環を加法群と見たときの剰余群に、自然に乗法が入るかどうかについて】

実数体 K 上の多項式環 K[x] において、x で生成される部分環は Z[x]x である。一方、x で生成されるイデアルは K[x]x である。イデアルとは、もとの環の元をその元にかけると自身に吸収してしまう部分環のことである。
加法群の剰余群は加法群であるが、それに乗法が入るかどうかを確かめてみる。
K[x]/Z[x]x においては、1.7x-0.7x , 10x-x∈Z[x]x に対して 1.7x・10x-0.7x・x∈Z[x]x でないので、自然な乗法が入らない。
一方、K[x]/K[x]x においては、p-q , r-s∈K[x]x ならば pr-qs=(p-q)r+q(r-s)∈K[x]x なので K[x] から乗法を引き継ぐ。

これが、ただの部分環とイデアルの違いである。


【数学地方の方言「つぶす」】

数学を勉強していると、「つぶす」という表現に出会うことがある。同値関係で「割る」とか、代数系をそのイデアルで「割る」とかのことである。
同値類や剰余類は集合族であるが、「つぶす」とは、それらの集合を点のように扱うばかりでなく、構造のあるものにはその構造が衝突することなく折り畳まれて構造を再構築するようにうまくやることである。(私たちはこれを、{偶数、奇数} の演算で感覚的に知っている。偶数や奇数を集合のように扱ったり、そうでなかったり)
特に環準同型 f の ker f など、f によって 0 という1点につぶれ、他の剰余類も1点につぶれるので、まさに点と見なせてわかり易い。さらに、環の構造も、形は変われども引き継がれる。
ker f の話が分かりやすければ、イデアルで割る場合も同様である。
なぜなら、R のイデアルを I とするとき、自然な準同型 f : R → R/I に準同型定理を当てはめれば ker f = I となるからである。
イデアルで割ることも、イデアルにまつわるものを 0 につぶすことなのである。

つぶしてやると、ときにはオリジナルにはなかった構造が再構築されることがある。
可換にしたり、0 以外の零因子を生み出したり消したり、閉じてないものを閉じたりなどである。


===
伝えたいことを言葉を替えて何度か書いて冗長になった。
さりげなくだじゃれを差し込めて満足だ。

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+k...続きを読む

Qwell-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数aのmを法とする剰余類は
[a]={x|x≡a(mod m)}とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。
a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する:
[a]+[b]=[a+b]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」
といえるのですか?
よく意味が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y (mod m)
z≡w (mod m)
であれば、
x+z≡y+w (mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!)
というわけですね。

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです...続きを読む


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