https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13522547.html
1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
2.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り
これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって、実際には実数同士間に全単射写像が存在することと矛盾するから、この論理展開は間違ってますよね。とすると、
3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
4.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り
からも、「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできないですよね。
と別のサイトで質問したら、「実数同士を対応させるときには対角線論法を適用できない」と言われたのですが、「対角線論法を適用できる」という、無限の個数の実数(あるいは非循環無限数列)の集合が持つ固有の性質が、実数同士を対応させるときに消失するのはなぜですか。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
> 4.例えば対角線論法で作った0.222…という実数は
> この対応表に存在しないから仮定は誤り。
最初に表をどう作ったのかが書いてないから、証明のテイをなしてないが...
> 3.141592…→3.141592…
> 1.414213…→1.414213…
> 6.661922…→6.661922…
もし、全ての実数 x を →x に対応させたのならば、
0.222… は 0.222… に対応してるでしょ。
そうじゃないと言うのなら、どういう対応表を作ったのか説明せにゃ。
「対角線論法で作った」というのにも、
何をどうやって 0.222… を作ったのか説明が無い。
それじゃ証明にならんよ。
そもそも 1.2. で、全ての実数は自然数と一対一対応できない
ことが示されているんだから、表の → の左側を縦に見ていって
その中に存在しない実数は必ずある。
だから、「対角線論法で」
表の k 行目の → の右側の実数と小数第 k 位が一致しない
ような実数を構成して見せても、表は 実数→実数 の対応の
ほんの一部でしかないんだから、そこに出てきてない
他の実数があっても何の矛盾もないでしょ って話になる。
>最初に表をどう作ったのかが書いてないから、証明のテイをなしてないが...
NHK Eテレ『笑わない数学』他無数のコンテンツで、「実数の方が多い」ことの証明に
1→3.141592…
2→1.414213…
3→6.661922…
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という表が使われてますが、「証明のテイをなしてない」ということですか。任意でしか並べられないなら他に方法はないと思いますが。
>「対角線論法で作った」というのにも、何をどうやって 0.222… を作ったのか説明が無い。それじゃ証明にならんよ。
それこの場で必要ですか。あなたが対角線論法を知らないなら必要でしたが。
>もし、全ての実数 x を →x に対応させたのならば、
対角線論法に従えばそれができないという話をしてるのですが。それでいいなら「すべての実数をすべての自然数に1対1に対応させた」で済みます。
>0.222… は 0.222… に対応してるでしょ。
つまり
0.222086…→ ←0.222086…
3.141592…→3.141592…
1.414213…→1.414213…
6.661922…→6.661922…
5.138924…→5.138924…
2.901877…→2.901877…
0.222555…→0.222555…
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というように、対角線論法で作った(ちなみに対角線論法をご存じないようなので補足しますが0.222086…は元の表の一番目の実数の小数第一位からの対角線上の数字111975を一つずつずらして作りました)実数同士を対応させ続けるということですね。だからそれについてずっと、それでいいなら
1→ ←0.222086…
2→3.141592…
3→1.414213…
4→6.661922…
5→5.138924…
6→2.901877…
7→0.222555…
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というように、自然数とも対応させ続けられますと言っているのですが。「未対応の実数が残る」のはどちらも同じですよ。
No.6
- 回答日時:
今ふと気付いた.
最後にある
「「対角線論法を適用できる」という、無限の個数の実数(あるいは非循環無限数列)の集合が持つ固有の性質」
ってどういうことなんだろうか. 対角線論法を有限集合に適用する意味はない (「数を数えろ」で終わるから) けど, 無限集合であれば「実数の集合」に限らずどんなものでも適用できるんだ.
意味不明な思い込みのまま突き進んでいたりする?
>無限集合であれば「実数の集合」に限らずどんなものでも適用できるんだ.
ああ循環小数の無限集合にも適用できましたね。でも、自然数の無限集合に適用↓できたら「実数の方が多い」という結論にならないのでは。お互いに表にない元が存在するのだから。
…0001→3.141592…
…0002→1.414213…
…0003→6.661922…
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No.5
- 回答日時:
3.4.はokなんだけど、そこから「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできない、と言う論法がおかしい。
3.4.が言ってるのは左(自然数)から右(実数)への全射が存在しないという事。
つまり、右に余りが出てしまう。
だったら、単射なんか存在しないでしょ?
だから、全単射は存在しないんですよ・・・・。
結論を導けるでしょ?なぜ出来ないんですか??
実数のベキ集合は真に実数より濃度が濃い事を証明するのに、対角線論法のアイデアを駆使して証明していて、それも対角線論法と言ってます。
が、実数同士の対角線論法は無理なのでは??
1:1対応が付いてしまうから。
1cmの線分内の点と宇宙空間全体の点の数が等しい事もカントールによって証明されてるんですから・・。
No.2
- 回答日時:
その 2. の証明を、具体的に書き出してごらんよ。
どこの行に誤りがあるか指摘するから。
3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定した表↓
1→3.141592…
2→1.414213…
3→6.661922…
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4.例えば対角線論法で作った0.222…という実数はこの対応表に存在しないから仮定は誤り。
1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定した表↓
3.141592…→3.141592…
1.414213…→1.414213…
6.661922…→6.661922…
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2.例えば対角線論法で作った0.222…という実数はこの対応表に存在しないから仮定は誤り。
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