教科書が書き換わりますか？

以前の質問↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13485667.html

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
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・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
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99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
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9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
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…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
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というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
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(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
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となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
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のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
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1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
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への回答が、始めの「すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる」段階で、右側に無限小数が、現れると言う人と現れないと言う人の二派に分かれましたが、現れる派の方だけに回答をお願いします。現れない派の方は回答をお控えください。

右側に無限小数が現れるということは、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
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(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となるというのもOKですよね。とするとすべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
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となるのもOKですよね。この段階では無限桁の自然数は現れないので。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/13 00:42

既に「『…835218』のようなものは『自然数』ではない」って指摘されてるよね. なんで無視する?

この回答へのお礼

質問文をよくお読みいただけると幸いです。

始めの段階で、左側に、…835218のような、自然数ではないものが現れるということは、右側に無限小数が現れるということであり、とするとすべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
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(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
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・

となるというのもOKですよね。とするとすべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
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・

となるのもOKですよね。この段階では無限桁の自然数は現れないので。

お礼日時：2023/07/13 11:42

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/07/12 14:45

あなたがおやりになっているのは任意の自然数に対して

有限小数＝有理数を対応させているだけです。
だからその集合は有理数全体の部分集合にすぎない、
したがってその集合に少なくとも無理数は存在しないのです。

この回答へのお礼

質問文をよくお読みいただけると幸いです。「右側に無限小数が、現れない派の方は回答をお控えください」と書いてある通りです。

お礼日時：2023/07/13 11:35