すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
・
・
・
9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
・
・
・
…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
・
・
・

https://note.com/abikonobuhiro666/n/n22a8edbc3936

質問者からの補足コメント

• 

  自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。
  
  どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

    補足日時：2023/06/02 13:38

• 

  この列にπあるいは無限小数は存在しないとのことですが、「どこまで」が言えないことは認めるのですよね。私も言えません。私は、「どこまで」とは言えないすなわち限りがないので無限小数もπも存在する、「限りがないので限りがない」と当然のことを言っています。ところがあなた方は「どこまで」とは言えないすなわち限りはないが無限小数もπも存在しない、「限りはないけど限りがある」とおかしなことを言っています。

    補足日時：2023/06/02 13:46

• 

  No.18さんが「『すべての実数を整列させる』こと（これができるのはよく知られている）」とおっしゃっているのですが、本当ですか。サイトがあれば貼っていただけるとありがたいです。

    補足日時：2023/06/02 14:28

• 

  「今野、そこにπはあるんか?」
  
  この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

    補足日時：2023/06/03 17:35

• 

  無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。
  
  簡単な証明
  
  1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。
  
  2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

    補足日時：2023/06/04 19:22

• 

  詳しい説明
  
  1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。
  
  2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。
  
  3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

    補足日時：2023/06/04 19:25

• 

  4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。
  
  5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

    補足日時：2023/06/04 19:28

• 

  訂正
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。

    補足日時：2023/06/05 14:44

• 

  また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることはできないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることはできない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になるが、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。

    補足日時：2023/06/05 14:45

• 

  「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。
  
  この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。
  
  「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

    補足日時：2023/06/06 10:13

No.59 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/12 16:55

集合SとSの要素でないaに対して

S
と
S∪{a}
の間に
全単射写像が存在しないとき
Sの濃度|S|
と
S∪{a}の濃度|S∪{a}|=|S|+1
はともに
(F数)ということにする

全ての自然数nに対して
濃度nの集合S
と
濃度n+1の集合S∪{a}
の間に
全単射写像は存在しないから

全ての自然数nは(F数)である

N=((桁数が無限でない)全自然数の集合)
M=(桁数が無限の偽自然数の集合)
a∈M
S=N∪{x<a|x∈M}

写像
f:S∪{a}→S=N∪{x<a|x∈M}
を
x∈N→f(x)=x+1
x∈S-N→f(x)=x
f(a)=1
とすると
fは全単射写像になるから
|S∪{a}|=|N∪{x≦a|x∈M}|=aは(F数)ではないから

桁数が無限の偽自然数は(F数)ではないから

桁数が無限の偽自然数は自然数ではない

空集合φは存在する
φ=1 と表すと1は存在する
自然数1～nが存在し
1≦x<n→x∈x+1
となるとき
{n}は存在する
{n}=n+1 と表すとn+1は存在し
n∈{n}=n+1
1≦x<n+1→x∈x+1
となるから
すべての自然数nが存在し
1≦n∈n+1
1≦n<n+1
となるから
nの後者n+1が存在するから
自然数には上限は無いのです

この回答へのお礼

複雑難解にするから間違うのだと思います。

「無限に桁を増やしていけるけれども無限に桁を増やすことはできない」にトリックがあり、無限に桁を増やすことはできないのです。

右に無限小数左に無限桁の自然数が存在し、無限桁の自然数は自然数ではないということは、自然数には正に有限という上限があることを示しています。

お礼日時：2023/06/13 16:02

No.58 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/12 11:27

1の桁数は無限でない(下に有限な数)

ある自然数nの桁数が無限でない(下に有限)と仮定すると

n+1の桁数も無限でない(下に有限)から

数学的帰納法の原理から

全ての自然数の桁数は無限でない(下に有限)から

(下に有限でない)無限桁の自然数は存在しない

ペアノの公理
(2)
より
全ての(下に有限な)自然数nに対して
nの後者(下に有限な)n+1が存在するから
(下に有限な)自然数には上限は無い(上には無限な)のです

((下に有限な))自然数の上限nがあると仮定すると
((下に有限な))nより大きい
nの後者((下に有限な))n+1が存在し
nが上限である事に矛盾するから
((下に有限な))自然数には上限は無い(上には無限な)のです

この回答へのお礼

＞1の桁数は無限でない(下に有限な数)

この書き方だと上に無限であることは認めたことになりますが。

そもそもなぜ実数の方が多いのかその理由はわかりますか。私は、自然数と有限小数と循環小数は一見無限に思えるけれども実際には無限ではない偽の無限すなわち有限だからだと考えていますが、あなたの考えを聞かせてください。

「貴方の整列方法では無限桁の自然数の存在が必要になります」というのは、右に無限小数左に無限桁の自然数が存在し、無限桁の自然数は自然数ではないということは、自然数には正に有限という上限があることを示しています。

お礼日時：2023/06/12 11:53

No.57 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/10 21:44

1の桁数は無限でない

ある自然数nの桁数が無限でないと仮定すると

n+1の桁数も無限でないから

数学的帰納法の原理から

全ての自然数の桁数は無限でないから

無限桁の自然数は存在しない

ペアノの公理
(2)
より
全ての(桁数無限でない)自然数nに対して
nの後者(桁数無限でない)n+1が存在するから
(桁数無限でない)自然数には上限は無いのです

(桁数無限でない)自然数の上限nがあると仮定すると
(桁数無限でない)nより大きい
nの後者(桁数無限でない)n+1が存在し
nが上限である事に矛盾するから
(桁数無限でない)自然数には上限は無いのです

この回答へのお礼

＞1の桁数は無限でない

桁を増やせるのはそこに無限のスペースすなわち無限の桁が存在するからです。正しい認識は「1」ではなく「…0001」です。あなたのは無から有を生み出しているイメージですが、実際には初めから存在している無限の桁に0～1の数字を入れていっているのです。

「従来知られていなかった『すべての自然数とすべての小数の形の有理数を1対1に対応させる方法』を発見したのだから教科書が書き換わりますよね？」↓についての回答もお願いします。

すべての有理数(負の有理数は省略)を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

「0.111…」「0.222…」…「0.999…」「0.010101…」…
「1.111…」「1.222…」…「1.999…」「1.010101…」…
「2.111…」「2.222…」…「2.999…」「2.010101…」…
・
・
・

となるので、すべての自然数とすべての有理数を1対1に対応させると

1→0
2→0.1
3→-0.111…
4→1
5→2
6→1.1
7→1.111…
8→0.2
9→0.222…
・
・
・

となりますが、従来分数の形でしか対応させられなかったものが、小数の形で対応させる方法が発見されたのだから、教科書が書き換わりますか。

お礼日時：2023/06/12 11:01

No.56 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/10 17:08

10の位以上の桁のすべてに0が入っているのは

1,2,3,4,5,6,7,8,9だけです

nの10^kの位以上の桁はすべて0
となるようなkが存在し
n<10^k
となる数nを桁数が無限でない数という

10～99は10^2の位以上の桁のすべてに0が入っているから桁数が無限でない
100～999は10^3の位以上の桁のすべてに0が入っているから桁数が無限でない
1000～9999は10^4の位以上の桁のすべてに0が入っているから桁数が無限でない
…

1は10の位以上の桁はすべて0だから
桁数が無限でない数である

n
が桁数が無限でない数であるとすると
nの10^kの位以上の桁はすべて0
となるようなkが存在し
n<10^k
となる
n+1<10^(k+1)
だから
n+1の10^(k+1)の位以上の桁はすべて0
だから
n+1も
桁数が無限でない数であるから

「
ペアノの公理
(5)(数学的帰納法の原理)
1がある性質を満たし
自然数nがある性質を満たせば(n+1)もその性質を満たすとき
すべての自然数はその性質を満たす
」
から
すべての自然数は桁数が無限でない数である

ペアノの公理
(2)
より
全ての自然数nに対して
nの後者n+1が存在するから
自然数には上限は無いのです

この回答へのお礼

＞10の位以上の桁のすべてに0が入っているのは1,2,3,4,5,6,7,8,9だけです

えーとですね、あなたが「すべての自然数は桁数が無限でないのです。1は10の位以上の桁はすべて0だから桁数が無限でない数である」と言ったので「(1は)10の位以上の無限の桁のすべてに0が入っているんですよね」と言ったのです。「すべての自然数は10の位以上の無限の桁のすべてに0が入っている」とは言っていません。

「従来知られていなかった『すべての自然数とすべての小数の形の有理数を1対1に対応させる方法』を発見したのだから教科書が書き換わりますよね？」↓についての回答もお願いします。

すべての有理数(負の有理数は省略)を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

「0.111…」「0.222…」…「0.999…」「0.010101…」…
「1.111…」「1.222…」…「1.999…」「1.010101…」…
「2.111…」「2.222…」…「2.999…」「2.010101…」…
・
・
・

となるので、すべての自然数とすべての有理数を1対1に対応させると

1→0
2→0.1
3→-0.111…
4→1
5→2
6→1.1
7→1.111…
8→0.2
9→0.222…
・
・
・

となりますが、従来分数の形でしか対応させられなかったものが、小数の形で対応させる方法が発見されたのだから、教科書が書き換わりますか。

お礼日時：2023/06/10 17:33

No.55 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/09 16:13

ペアノの公理

(5)(数学的帰納法の原理)
に
より
すべての自然数は桁数が無限でないのです

ペアノの公理
(2)
より
全てに自然数nに対して
nの後者n+1が存在するから
自然数には上限は無いのです

この回答へのお礼

「すべての自然数とすべての小数の形の有理数を1対1に対応させる方法」についての回答もお願いします。

＞すべての自然数は桁数が無限でないのです。1は10の位以上の桁はすべて0だから桁数が無限でない数である。

10の位以上の無限の桁のすべてに0が入っているんですよね。

「右が無限小数のとき左は無限桁の自然数になり、無限桁の自然数は自然数ではないから全単射にならない」というのはまさに自然数には有限という上限が存在していることを示しています。

無限の桁の組み合わせは無限の個数になりますが、有限の桁の組み合わせは有限になります。だから自然数と同様に有限小数の個数は有限で、有限小数と循環小数は

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

のように全単射(「0.111…」などの重複するものは省けばいい)なので、循環小数の個数も循環自然数の個数も有限です。

で、質問を変えますが、すべての有理数(負の有理数は省略)を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

「0.111…」「0.222…」…「0.999…」「0.010101…」…
「1.111…」「1.222…」…「1.999…」「1.010101…」…
「2.111…」「2.222…」…「2.999…」「2.010101…」…
・
・
・

となるので、すべての自然数とすべての有理数を1対1に対応させると

1→0
2→0.1
3→-0.111…
4→1
5→2
6→1.1
7→1.111…
8→0.2
9→0.222…
・
・
・

となりますが、従来分数の形でしか対応させられなかったものが、小数の形で対応させる方法が発見されたのだから、教科書が書き換わりますか。

お礼日時：2023/06/10 16:51

No.54 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/08 17:40

すべての自然数は桁数が無限でないのです

1
は10の位以上の桁はすべて0だから
桁数が無限でない数である

n
が桁数が無限でない数であるとすると
nの10^kの位以上の桁はすべて0
となるようなkが存在し
n<10^k
となる
n+1<10^(k+1)
だから
n+1の10^(k+1)の位以上の桁はすべて0
だから
n+1も
桁数が無限でない数であるから

「
ペアノの公理
(5)(数学的帰納法の原理)
1がある性質を満たし
自然数nがある性質を満たせば(n+1)もその性質を満たすとき
すべての自然数はその性質を満たす
」
から
すべての自然数は桁数が無限でない数である

この回答へのお礼

＞すべての自然数は桁数が無限でないのです。1は10の位以上の桁はすべて0だから桁数が無限でない数である。

10の位以上の無限の桁のすべてに0が入っているんですよね。

「右が無限小数のとき左は無限桁の自然数になり、無限桁の自然数は自然数ではないから全単射にならない」というのはまさに自然数には有限という上限が存在していることを示しています。

無限の桁の組み合わせは無限の個数になりますが、有限の桁の組み合わせは有限になります。だから自然数と同様に有限小数の個数は有限で、有限小数と循環小数は

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

のように全単射(「0.111…」などの重複するものは省けばいい)なので、循環小数の個数も循環自然数の個数も有限です。

で、質問を変えますが、すべての有理数(負の有理数は省略)を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

「0.111…」「0.222…」…「0.999…」「0.010101…」…
「1.111…」「1.222…」…「1.999…」「1.010101…」…
「2.111…」「2.222…」…「2.999…」「2.010101…」…
・
・
・

となるので、すべての自然数とすべての有理数を1対1に対応させると

1→0
2→0.1
3→-0.111
4→1
5→2
6→1.1
7→1.111
8→0.2
9→0.222
・
・
・

となりますが、従来分数の形でしか対応させられなかったものが、小数の形で対応させる方法が発見されたのだから、教科書が書き換わりますか。

お礼日時：2023/06/09 15:54

No.53 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/07 17:11

nに対して

10^(k-1)≦n<10^k
となるような無限でないkが存在するとき
nを(無限でない桁の)自然数という

3は無限でない1桁の数
33は無限でない2桁の数
333は無限でない3桁の数
3333は無限でない4桁の数
33333は無限でない5桁の数
333333は無限でない6桁の数
3333333は無限でない7桁の数
33333333は無限でない8桁の数
…
というように
(無限でない桁の)自然数は無限にあるのです

この回答へのお礼

「…」の…に3が三個以上並んでいるとして、

3333333までの自然数の個数は3333333個で有限で「3…333」は1個で有限。

33333333までの自然数の個数は33333333個で有限で「3…333」は2個で有限。

333333333までの自然数の個数は333333333個で有限で「3…333」は3個で有限。

有限桁の自然数の個数は有限です。有限という制限があるのに無限になるのは矛盾です。

ところで、πに対応する自然数について、いきなり無限桁と言うと拒否反応が半端ないですが、一の位は2、十の位は4、百の位は1…というように、無限に言い続けられないのはなぜですか。なぜ途中までしか言えないのですか。そしてその上限は何桁ですか。

の答えがそちらから出ないので私の考えを述べます。

有限桁のもののみを自然数と呼ぶなら、それがどんなに大きな自然数でも、原理的に、「9…999」という形を取り、その自然数までの自然数の個数は「9…999個」という有限の値になります。

どこまで大きい自然数があるかは言えませんが、有限という上限があるのははっきりしています。

定義上すべての自然数は有限の大きさを持ち、ゆえに有限の個数となります。

この表にπがあるかないかについては、No.47さんが「実数と自然数の濃度(個数)が同じか同じでないかを考えるときに、自然数のほうの定義を変えたから実数の濃度と同じになりました...では、何の意味もない議論だってことが解らない？」と回答しており、また他のサイトでも、「πに対応する自然数が無限桁になるからダメ」とπがあること自体は認めている方もいて、数学を学んだ正統派の皆さんの意見が分かれています。

この表には制限がなく、自然数と実数のどちらも無限に並んでいるので、πとそれに対応する無限桁の自然数が存在しますが、無限桁の自然数は定義上自然数として認められないというだけの話です。

お礼日時：2023/06/08 16:34

No.52 回答者： hondarawa 回答日時： 2023/06/06 22:07

#48です。

>どちらが先かはわかりません。

とうとう認めましたね。
もう終わりです。

質問者さんは、実数を自然数みたいなものに対応付ける方法を考案したけれど、肝心の並べ方はわからないと自分で認めたのだから、「すべての実数を整列させる方法を考えました」というのは間違いになります。

＞たまには私の質問↓にも答えてください。ここはそういう場なので。

そうですね。
自分で「わからない」と言ってしまったのだから、
「教科書が書き換わりますか？」という質問に対する答えは、
「いいえ」になります、以上。

この回答へのお礼

「たまには私の質問↓にも答えてください。ここはそういう場なので。

『…333』と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。『3…333』ですか。次の桁が空いてますよ。

この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります」

という質問を「教科書が書き換わりますか？」にすり替えたということは「質問に答えられない」ということでよろしかったでしょうか。

「あとπがないならどこまでのものがあるのか」にも答えられないということですね。

とうとう認めましたね。もう終わりです。

あなたのターンに私が答えて、私のターンにあなたが答えて、双方の答えが出そろわない限り白黒はつきません。むしろ答えた方より答えない方が間違いに近いと思います。

お礼日時：2023/06/07 16:07

No.51 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/06 19:55

本当に「あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。

」というなら, それを「証明」してくれないかなぁ.

この回答へのお礼

繰り返し述べている通りです。

自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。

どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

逆に「9…999」までの自然数の個数がどうやったら無限になるのか教えてください。

お礼日時：2023/06/07 16:14

No.50 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/06 16:13

nに対して

10^(k-1)≦n<10^k
となるような有限kが存在するとき
nを有限k桁の数という

3は有限1桁の数
33は有限2桁の数
333は有限3桁の数
3333は有限4桁の数
33333は有限5桁の数
333333は有限6桁の数
3333333は有限7桁の数
33333333は有限8桁の数
…
というように
有限桁の数は無限にあるのです

この回答へのお礼

「…」の…に3が三個以上並んでいるとして、

3333333までの自然数の個数は3333333個で有限で「3…333」は1個で有限。

33333333までの自然数の個数は33333333個で有限で「3…333」は2個で有限。

333333333までの自然数の個数は333333333個で有限で「3…333」は3個で有限。

有限桁の自然数の個数は有限です。有限という制限があるのに無限になるのは矛盾です。

ところで、πに対応する自然数について、いきなり無限桁と言うと拒否反応が半端ないですが、一の位は2、十の位は4、百の位は1…というように、無限に言い続けられないのはなぜですか。なぜ途中までしか言えないのですか。そしてその上限は何桁ですか。

お礼日時：2023/06/07 16:36