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エジプト分数表示と呼ばれる、有理数(ただし0から1の間)を単位分数の和で表すことについて調べています。
http://www.interq.or.jp/www-user/nozato/pseudo/n …
によると、
p/qより小さい単位分数のうち最大のもの(1/n)をとってきて、
q/p=1/n+…
と考え、残りを同様に続けると有限回で終わることが示されています。これは欲張り展開法とも呼ばれるそうです。
次に、
http://www5d.biglobe.ne.jp/~bongo/math/math01.html
によると、
n/m が単位分数分解できることを示すのに、
「n と m が互いに素より、 an - bm = 1 となる a,b ∈ N が存在する」
ことを用いて、示されています。
あと、
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/abunsuu.htm
によると、
「リンド・パピルスの方法の推理」とよばれる次の方法があるそうです。
1.元の分母を越えない最大の3の倍数をみつける。
2.その数を3で割り、2を掛ける。
その数が求める1つの分母になる。
3.与えられた分数から2)で求められた分数を引く。
分子が1のとき、求めるもう1つの分数となる。
分子が2のとき、約分出来るときは、約分した分数が、求めるもう1つの分数となる。
約分出来ないとき、1)にもどる。
分子が3のとき1+2に分割して2、3の分数が求められる。
で、このリンド・パピルスの方法でどの有理数も単位分数の和で表すことができるのかがわかりませんので教えていただけないでしょうか?
また、単位分数分解で知られている一般的なおもしろい結果がありましたら、教えていただけないでしょうか。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは
リンド・パピルスの方法の推理についてですが
これは任意の分数を単位分数にわけることが
できるのでしょうか? あやしいように思います。
というのは ステップ3まできたときに分子が1,2,3の
いずれかにならないと処理が行えないと思いますが、
例えば与えられた数が 2/19 だと
ステップ1 18を見つける
ステップ2 1/12が単位分数となる
ステップ3 2/19 - 1/12 = 5/308 ???
なお、分子が2に限定されている場合は
分母が偶数なら1つの奇数なら2つの単位分数に
常に分解できるのであまり考える価値はないかもです。
リンド・パピルスの方法(私はよくしりません)に
ついての正しい理解が必要かな、です。
ありがとうございます。
2/19 を単位分数分解ですが、
2/19 - 1/12 = 5/228
となり、リンド・パピルスの方法を少し変更すれば、
5/228 = (1+2+2)/228 = 1/228 + 1/114 + 1/114
となります。1/114が二種類出てくるので一方を、
1/n=1/(n+1) + 1/n(n+1)
を用いて、変更すれば出来ます。
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