きもちがわからない

部分分数ぶん解の分母はわかります。因数のような感覚で最小項的に
でもぶんしがわかりません。
たとえば
タイプ３で
Aは０じだけど１次でも通分するときににじになって別に良さそう
どういうお気持ちですか？？？

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu- …

質問者からの補足コメント

• 

  結論的なものをみつけました～
  https://akiyamath.com/2023/09/partial-fraction-d …
  よかたらみてみてください、すごいわかりやすいです

    補足日時：2024/05/03 11:00

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/03 11:31

＞ 上にあるタイプ３とかは説明できません

してあるよ？
３番めの段落は読まなかったのかな...

No.2 のいう「めんどくさい」部分の説明：
多項式については、余り付き除算が行える。
高校の教科書でも扱われてるね。
「x^3+2x^2+3x+4 を x^2+1 で割った余りを求めよ」
とか、そんなやつ。

余り付き除算が定義できるような加法乗法の体系では、
ユークリッドの互助法が行えて、最大公約数を求めることができるし、
与えられた互いに素な多項式 a(x), b(x) に対して
恒等式 a(x) f(x) + b(x) g(x) = 1 を満たす
多項式 f(x), g(x) を求めることができる。

分数式 c(x)/{ a(x) b(x) } に、上の式の両辺を掛けると
c(x)/{ a(x) b(x) } = { c(x) g(x) }/a(x) + { c(x) f(x) }/b(x)
となって、分母が a(x) b(x) の分数式を
分母が a(x) の分数式と分母が b(x) の分数式の和
に分解することができた。これが、部分分数分解。

右辺もまた分数式になっているから、この操作を
分母がもうそれ以上分解できないところまで繰り返せば、
もとの分数式は、(x の多項式)/(x-a)^m って形の分数の和
で表される。(x-a)^m を = a(x) b(x) に分解すると、
a(x) と b(x) は共通因数 x-a を持ってしまい
互いに素にならないから、ここで繰り返しは終点。

(x の多項式)/(x-a)^m は = (x の多項式) + (x の m 次未満の式)/(x-a)^m
と帯分数の形に変形できるから、あらためで総和すると
(もとの分数式) = (多項式) + Σ(x の m 次未満の式)/(x-a)^m
という形になる。
もとの分数式の分子の次数が分母の次数より低ければ、
x→∞ の極限を考えると、右辺の多項式は定数式 0 でなければならない
ことが解る。

ここまでで、たとえば「タイプ３」の例 (cx^2+dx+e)/{ (x+a)^2 (x+b) } は
= (x の ２次未満の式)/(x+a)^2 + (x の 1次未満の式)/(x+b)
と分解されている。

No.1 の 3番目の段落に書いたことは、これを
(もとの分数式)= (Ax+B)/(x+a)^2 + C/(x+b) と置けば、
　/(x+a)^2 の項の分子を Ax+B = A(x+a)+(B-Aa) と変形することで
(もとの分数式)= (B-Aa)/(x+a)^2 + A/(x+a) + C/(x+b)
と分解できるって話。

ちゃんと、タイプ3 も、それ以外も、一般的に説明してるでしょ？

この回答へのお礼

ごめんなさい。意味が理解しました～ ありがとうございます :))

お礼日時：2024/05/03 12:37

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/03 15:28

で、その上で、f(x) = Σ (定数)/(x-a)^m と分解した式の

右辺各項の (定数) を求めなきゃならない。

それをするには、各 a に対して最大の m を探す。
ある a = A に対する最大の m が m = M だったとすると、
f(x) = Σ[a,mに関して総和] (定数)/(x-a)^m の両辺に (x-A)^M を掛けた式
f(x)・(x-A)^M = Σ[a,mに関して総和] (定数)/(x-a)^m・(x-A)^M の右辺は、
a = A, m = M の項だけが定数項となり
それ以外の項は x→A の極限で →0 になるから、
(定数)/(x-A)^M という項の分子の定数は = lim[x→A] f(x)・(x-A)^M となる。

この方法で、各 a について m が最大であるような項の分子が定まるから、
f(x) - (その定数)/(x-A)^M という分数式に対して同じ操作を繰り返せば
他の次数の (定数)/(x-A)^m についても分子が定まって、
いつかは No.3 の右辺の (定数) が全て求まる。

特に、全ての a について m = 1 であるような例では、
上記の話の後半が無くてとてもシンプルだし、
m ≧ 2 となる a が 1 個だけなら、
それ以外の a に関する (定数)/(x-a)^m を全て求めて
f(x) から引いてしまうのが早い。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/02 21:32

これは定理なんでそのまま受け入れた方がお得。

証明はめんどくさいらしい。
「部分分数展開の一般形」で検索してみよう。

この回答へのお礼

そなんですね？
それってどういう程度のめんどくさいですか？？
具体的にどういう証明ですか？？

お礼日時：2024/05/03 10:02

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/02 18:39

タイプ何とかに分けて考えるのはやめて、

統一的な方法を知っておくのはどうでしょう？

(多項式)/(多項式) の形にまとめた分数の
分子の次数が分母の次数より低ければ、
その分数式の部分分数分解は、
まとめたときの分母の因数を一次式の冪
(x-a)^m って形のやつごとに分けて、そのそれぞれに対する
(x の m 次未満の式)/(x-a)^m って形の分数の和になります。

一度この形で理解してから、
各分子の (x の m 次未満の式) を (x-a) についての多項式
の形に整理しなおせば、例えば
(x^2+5)/(x-1)^3 = { (x-1)^2 + 2(x-1) + 1 + 5 }/(x-1)^3
= 1/(x-1) + 2/(x-1)^2 + 6/(x-1)^3 のように
分子が定数である分数式の和へ分解できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。いいたいことはわかりますけど、一ぱんせいに欠けると思います。
たとえばありものがたりくんの説明では上にあるタイプ３とかは説明できません

お礼日時：2024/05/03 10:22