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群((Z/9Z)×,×) について、その演算を表であらわせ。さらに、その表を用いて、各元a についてa の逆元とaの位数をそれぞれ求めよ。

大学の課題なのですが、数学初心者のためさっぱりです。
自分なりに調べて分かったことは(つもり)以下です。
1、2、4、5、7、8が9で割り切れないため(素数?)演算表は124578の縦横で作る。単位元は乗算なので1。逆元は単位元になる数だから、それぞれ1マイナス1乗、2マイナス1乗・・・となる。位数は群の位数が元が6個なので6。

元の位数の定義がn乗の最小値~ということですが、ここからどうやって求めるのか分かりません。自力で解きたいのでヒントを下さい<m(__)m>

質問者からの補足コメント

  • 定義をみても分からないから質問してます。

    元の位数は、1はそのまま1、3は3の4乗=81。81/10は8あまり1なので最小は4乗なので3の位数は4、7は、74乗=2401/10=240あまり1なので4、9は、92乗=81/10=8あまり1なので2
    これって合ってますか?

      補足日時:2017/03/08 16:18
  • 丁寧な解答ありがとうございます。
    ((Z/9Z)×,×) の演算表は、
    124578
    124578
    248157
    487215
    512784
    751842
    875421
    逆元はそれぞれ、1、5、7、2、4、8
    元の位数は、2の場合、あなたの方法ですと2^6=4で一の位が単位元の1になっておらず求め方が分かりません。わたしの方法だと2^6=64となり、64/9=7あまり1となり2の元の位数は6となると思うのですが、あなたの解法が教科書にあるため理解したいです。また演算表から逆元と元の位数を導くことはできるのでしょうか。

      補足日時:2017/03/15 09:47
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A 回答 (6件)

乗積表は 36 箇所, すべて正しく求められています.


各元の逆元も, 貴方の求めたものが正解です.
2 つの元の積を計算することに関しては, きちんと理解できているようですね.

>また演算表から逆元と元の位数を導くことはできるのでしょうか。
えっと, あなたは各元の逆元を, どのようにして求めたのでしょうか.
逆元に関しては, 乗積表を見れば一目瞭然ですよね.
つまり, 乗積表にある 1 に着目します.
薄い黄色で塗りつぶした 2 箇所の 1 は, 2 * 5 = 5 * 2 = 1 より得られたものです.
よって, 2 と 5 は互いに逆元の関係にあります.
つまり, 2 の逆元は 5 で, 5 の逆元は 2 です.

次に, 5 の位数を求めます.
乗積表より 5 * 2 = 1 ですが,
薄い水色で塗りつぶした 2 に着目すると, 2 = 5 * 4 と分かります.
よって, 5 * (5 * 4) = 1, つまり, 5^2 * 4 = 1 です.
で, 抹茶色で塗りつぶした 4 に着目すると, 4 = 5 * 8 と分かります.
よって, 5^2 * (5 * 8) = 1, つまり, 5^3 * 8 = 1 です.
今度は, 青っぽい灰色で塗りつぶした 8 に着目すると, 8 = 5 * 7 と分かります.
よって, 5^3 * (5 * 7) = 1, つまり, 5^4 * 7 = 1 です.
で, 暗めのオレンジで塗りつぶした 7 に着目すると, 7 = 5 * 5 と分かります.
よって, 5^4 * (5 * 5) = 1, つまり, 5^5 * 5 = 5^6 = 1 と分かります.
以上のことより, 5 の位数は 6 であることが判明しました.
他の元についても, 同様の方法で位数を求めてください.

最後に, 乗積表に頼らずに, 5 の位数を求めてみます.
5^1 = 5 ≠ 1 より, 5 の位数は 1 ではない.
5^2 = 25 = (2 * 9) + 7 = 7 ≠ 1 より, 5 の位数は 2 ではない.
5^3 = 5^2 * 5 = 7 * 5 = 35 = (3 * 9) + 8 = 8 ≠ 1 より, 5 の位数は 3 ではない.
5^4 = 5^3 * 5 = 8 * 5 = 40 = (4 * 9) + 4 = 4 ≠ 1 より, 5 の位数は 4 ではない.
5^5 = 5^4 * 5 = 4 * 5 = 20 = (2 * 9) + 2 = 2 ≠ 1 より, 5 の位数は 5 ではない.
5^6 = 5^5 * 5 = 2 * 5 = 10 = (1 * 9) + 1 = 1 より, 5 の位数は 6 である.

(Z/10Z)× のときは mod 10 で考えていたので, たまたま一の位に着目するのが有力だっただけです.
(Z/9Z)× では mod 9 で考えるので, 一の位に着目するのは無意味です.
「代数学 群の問題について」の回答画像6
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この回答へのお礼

すっきりしました。クソさんありがとうございます。また置換のとこでつまっているので質問します。

お礼日時:2017/03/15 13:46

あっと, 私は質問を読み違えていました.


群 (Z/9Z)× について, 先に各元の逆元と位数を求めるのではなく, 乗積表を先に作成するのですね.
「九九」を暗記していて引き算ができる人なら, いたって簡単な作業です.
乗積表は, すでに自力で作成できたのでしょうか.
どこかで行き詰っているなら, 補足質問してください.
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(Z/9Z)× と (Z/10Z)× の両方が出題されているのですか?


貴方が補足コメントに書いたのは, 群 (Z/10Z)× における, 各元の位数でしょうか.
そうだとしたら, すべて合っています.

>元の位数は、1はそのまま1
いかなる群でも, 単位元 1 の位数は 1 です.

>3は3の4乗=81。81/10は8あまり1なので最小は4乗なので3の位数は4
3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81 はすべて「九九」で暗記していますから, 貴方の解き方が最善です.
ただ, 別の考え方もあります.
群 (Z/10Z)× においては, 3^3 = 27 = 7 なので,
3^4, つまり 3^3 と 3 の積は, 7 と 3 の積に等しい.
よって, 3^4 = 21 = 1 となり, 3 の位数は 4 だと分かります.

>7は、74乗=2401/10=240あまり1なので4
74乗=2401/10=240あまり1 ← 数式の書き方が, あまりにも雑というか, はっきり間違っていますよね.
7^2 = 49 = 9 より, 7^3 = 63 = 3 となります.
よって, 7^4 = 21 = 1 となり, 7 の位数は 4 だと分かります.
7^4 = 2401 程度なら, 筆算で計算可能な範囲ですが, なるべく楽な計算方法を選びましょう.

>9は、92乗=81/10=8あまり1なので2
これも数式としては間違っていますが, 9^2 = 81 = 1 より, 9 の位数が 2 という結論は正しいです.

群 G = (Z/10Z)× の位数は 4 なので, G の各元の位数は 4 の約数になります.

以上を踏まえて, 群 (Z/9Z)× の各元について, その逆元と位数を求めてください.
質問があったら, 遠慮なくどうぞ.
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貴方は「自力で解きたい」と書いていますが, その言葉を信じていいのでしょうか.


本当に自力で解く気があるなら, どんなヒントでも出すし, 解決するまで付き合います.

まず, (Z/9Z)× の定義は, 分かっていますか.
可換環 Z/9Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} の単元を, すべて挙げてください.

>元の位数は、1はそのまま1、
>3は3の4乗=81。81/10は8あまり1なので最小は4乗なので3の位数は4、
>7は、74乗=2401/10=240あまり1なので4、
>9は、92乗=81/10=8あまり1なので2
>これって合ってますか?
合っているかと訊かれても, 私には貴方が何をやっているのか, まったく理解できません.
おそらく苦し紛れで書いたのでしょうから, それ以上のコメントは控えます.

質問があれば, 何でも遠慮なくどうぞ.
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「これって合ってますか?」って言われても, どのような群を考えているのかわからないから答えようがない.

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とりあえず定義をきちんと確認するところから始めないとだめじゃないかな. 「n乗の最小値~」では全然定義になってないよね.



「逆元は単位元になる数」とか「1マイナス1乗」「2マイナス1乗」も意味不明だけど.
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