代数学の質問です（偶置換と奇置換の判別）

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
σ(5)より右側で5よりも大きい数の個数
σ(3)より右側で3よりも大きい数の個数
……
といった数え上げを行い、それが奇数になるか偶数になるかという機会的な方法で求まるらしいです。
そうすると、14個あるので、これは偶置換になると思うのですが、テキストにも乗っていないので、この方法は信用していいのか分からないです。

つきましては、次の二点を教えてください。

（１）上の問題が偶置換か奇置換かを判別する方法とその説明
（２）逆転数に着目するという方法が正答かどうか

お手数ですが、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/12 15:39

書き方が変ですが

[ 1234567 ]
[ 5312476 ]

の置換のことでしようか?

互換で置換を進めると

1234567

5234167
5324167
5314267
5312467
5312476

5回なので奇置換です。左から正しい数をつめてゆくだけ
なので、何も考えなくても直ぐに機械的に終ります。

この回答へのお礼

なんて簡単なんだ！！
人に聞くとスッキリして嬉しいです。
助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2015/08/13 11:48

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/12 22:17

転倒数(逆転数？)に関して調べてみましたが

転倒数が偶数なら遇置換、奇数なら奇置換で良いようです。

転倒数の定義

iくjでかつσ(i)>σ(j)の数。

1234567
5312476

では

12 13 14 15 23 24 67

の7個なので奇置換

参考
http://www.mmm.muroran-it.ac.jp/~yuji/lecture_in …

但し、実際に置換を行ってみるのに比べて面倒ですね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/12 15:11

本題以前の問題として

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)
ってなんですか?

上の「[1234567]」はともかく下の「σ(5)」とか「σ(3)」ってのは σ が決まらないと決まらないよな.