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転置行列 証明

t(AB)=tBtAの証明について

知恵袋にあった証明を引用させて頂きます。

行列の積が定義できることを前提に、各行列の(i,j)成分を次のようにおきます。
A : a_ij
B : b_ij
tA : a_ij(t) = a_ji ____ (1)
tB : b_ij(t) = b_ji ____ (2)
行列の積の定義から、ABの(i,j)成分は
Σ a_ik*b_kj
すると、t(AB)の(i,j)成分は
Σ a_jk*b_ki
= Σ b_ki*a_jk ____ 積の交換
= Σ b_ik(t)*a_kj(t) ____ (1)と(2)から明らか
この関係式は、t(AB)の(i,j)成分がtBtAの(i,j)成分と等しいことを示しています。よって
t(AB)=tBtA

Σ a_jk*b_ki=Σ b_ki*a_jk
について積の交換をした理由が知りたいです。
t(AB)=tBtAだから、なんとなく交換したのではなくて交換しなければ成らない理由があると思うのですが
その点について教えていただけませんでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

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A 回答 (5件)

とんでもない。


正方行列は、交換可能じゃないです。
大多数の A, B について、AB ≠ BA です。

行列の寸法という意味では、
A が L 行 m 列
B が m 行 n 列のとき、
積 AB が定義されますが、このとき、
tB が n 行 m 列
tA が m 行 L 列になるので、
(tB)(tA) も、問題無く定義されます。

もともと、質問文の証明は、
それが目に見える形で書いてありますよ。
Σ の項数に注目。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

お礼日時:2010/08/11 15:19

この証明のどこで「正方行列が可換」ということを使っているんでしょうか?

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実数もしくは複素数どうしの掛け算の順番を変えただけじゃん。

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「交換をした理由」?



交換したかった理由は、
t(AB) の各成分が (tB)(tA) に行列積の定義をあてはめた
Σ b_ik(t) * a_kj(t) と同じ式になることを示したかったからでしょう。
この式には、b が左に a が右に現われていますね?

交換できた理由は、
スカラーの積が可換だからでしょう。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
理解できました。
つまり、行列の積Σ a_ik*b_kjを当てはめる為の交換なのですね。

ところで、正方行列は常に交換可能ですが、交換可能でない
行列の積でも同様に転置行列の証明をして良いのでしょうか?

例えば、A=(2行2列)とB=(2行1列)の行列は積をとることはできますが、
交換できないと思います。
この行列も同じで順で転置行列の証明を行って良いのでしょうか?

補足日時:2010/08/06 01:26
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こんばんわ。



>= Σ b_ki*a_jk ____ 積の交換
>= Σ b_ik(t)*a_kj(t) ____ (1)と(2)から明らか
ここは、上下逆に書いた方がわかりやすいような気がしますね。
つまり、
Σ a_jk*b_ki
= Σ[k] a_kj(t)* b_ik(t) (∵(1)より a_jk= a_kj(t)、(2)より b_ki= b_ik(t))
= Σ[k] b_ik(t)* a_kj(t) (積の交換)

と書いた方がわかりやすいということです。
Σの後ろの [k]は、kについて和をとることを表しています。

あとは、行列の積の成分表示に従って(内側同士になっている kについて和をとることで)、tB tAであることが示されます。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

>Σ a_jk*b_ki
>= Σ[k] a_kj(t)* b_ik(t) (∵(1)より a_jk= a_kj(t)、(2)より b_ki= b_ik(t))
>= Σ[k] b_ik(t)* a_kj(t) (積の交換)
行列の積Σ a_ik*b_kjに当てはめるための交換なのですね。


ところで、正方行列は常に交換可能ですが、交換可能でない
行列の積でも同様に転置行列の証明をして良いのでしょうか?

例えば、A=(2行2列)とB=(2行1列)の行列は積をとることはできますが、
交換できないと思います。
この行列も同じで順で転置行列の証明を行って良いのでしょうか?

補足日時:2010/08/06 01:29
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