群の問題です。

Gを巡回群でない位数10の郡とする。元ｇ∈Ｇがｇ＾５≠e（eはＧの単位元）を満たすとき、ｇの位数を求めよ。という問題の解説をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/06 19:33

gの位数はGの位数10の約数だから

1,2,5,10 のどれかになる
gの位数を1と仮定すると
g=eだからg^5=e^5=eとなってg^5≠eに矛盾するから
gの位数は1でない
gの位数を5と仮定すると
g^5=eとなってg^5≠eに矛盾するから
gの位数は5でない
gの位数を10と仮定すると、Gの位数は10だから
g^10=e
G={e,g,g^2,g^3,g^4,g^5,g^6,g^7,g^8,g^9}
は巡回群となってGが巡回群でない事に矛盾するから
gの位数は10でないから
∴
gの位数は
2

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/06 18:31

2。

G = D₅ だから。