数学の問題です。 連立方程式 sinx-cosy=-1 siny-cosx=-√3を解け 解説お願い

数学の問題です。
連立方程式
sinx-cosy=-1
siny-cosx=-√3を解け
解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/24 14:29

こういうときには、2乗して

　sin^2(x) + cos^2(x) = 1
を使うのが定石です。
これで、与方程式を x だけ、y だけの式にすれば簡単に解けます。

0≦x<2π、0≦y<2π とします。

sin(x) - cos(y) = -1　　　　①
sin(y) - cos(x) = -√3　　　②

①より
　cos(y) = sin(x) + 1
②より
　sin(y) = cos(x) - √3
各々を2乗して足し合わせれば
　sin^2(x) + 2sin(x) + 1 + cos^2(x) - (2√3)cos(x) + 3 = 1
→　sin(x) - (√3)cos(x) = -2
→　2{(1/2)sin(x) - [(√3)/2]cos(x)} = -2
→　{cos(π/3)sin(x) - [sin(π/3)cos(x)} = -1
→　sin(x - π/3) = -1
よって
　x - π/3 = (3/2)π
→　x = (11/6)π

同様に、①より
　sin(x) = cos(y) - 1
②より
　cos(x) = sin(y) + √3
各々を2乗して足し合わせれば
　cos^2(y) - 2cos(y) + 1 + sin^2(y) + (2√3)sin(y) + 3 = 1
→　-cos(y) + (√3)sin(y) = -2
→　2{[(√3)/2]sin(y) - (1/2)cos(y)} = -2
→　{cos(π/6)sin(y) - [sin(π/6)cos(y)} = -1
→　sin(y - π/6) = -1
よって
　y - π/6 = (3/2)π
→　y = (5/3)π

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/24 16:48

sinx-cosy=-1

↓両辺に1+cosyを加えると
1+sinx=cosy…(1)
↓両辺を2乗すると
(1+sinx)^2=(cosy)^2
1+2sinx+(sinx)^2=(cosy)^2…(2)

siny-cosx=-√3
↓両辺にcosxを加えると
siny=cosx-√3…(3)
↓両辺を2乗すると
(siny)^2=(cosx-√3)^2
(siny)^2=(cosx)^2-(2√3)cosx+3
(cosx)^2-(2√3)cosx+3=(siny)^2
↓これを(2)に加えると
1+2sinx+(sinx)^2+(cosx)^2-(2√3)cosx+3=(cosy)^2+(siny)^2
↓(sinx)^2+(cosx)^2=1
↓(cosy)^2+(siny)^2=1だから
1+2sinx+1-(2√3)cosx+3=1
↓両辺にから5を引くと
2sinx-(2√3)cosx=-4
↓両辺を4で割ると
(1/2)sinx-{(√3)/2}cosx=-1
↓1/2=cos(π/3)
↓(√3)/2=sin(π/3)だから
cos(π/3)sinx-sin(π/3)cosx=-1
sin(x-π/3)=-1
nを任意の整数とすると
x-π/3=2nπ-(π/2)
↓両辺にπ/3を加えると
x=2nπ-(π/2)+(π/3)
x=2nπ-π/6=(12n-1)π/6…(4)
↓これを(1)に代入すると
cosy=1+sin(2nπ-π/6)
cosy=1-1/2
cosy=1/2…(5)

(4)を(3)に代入すると
siny=cos(2nπ-π/6)-√3
siny=(√3)/2-√3
siny=(-√3)/2
↓これと(5)から
y=2nπ-π/3=(6n-1)π/3
↓これと(4)から
∴
x=(12n-1)π/6
y=(6n-1)π/3
(nは任意の整数)

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2022/01/24 15:46

sin x - cos y =-1

sin y - cos x =-√3

このｘとｙの値を求めろって事でしょうね。

まず、

　sin x - cos y =-1
から、
　sin ｘ の値がプラスの時は、cos y の値を最大にしてもゼロ以下にはならない、
　sin ｘ の値がマイナスの時は、cos y の値はゼロからプラスの範囲、
であることが分かる。

このことから
　π≦x≦2π
　0≦y≦(1/2)π , (3/2)π≦y≦2π
の範囲を取ることが分かる。

この範囲に対して
同様に
　sin y - cos x =-√3
のケースも考えると良いでしょう。

あとは適切に数式を変形させればOK。
特に難しいことはやってやってませんよ。
むしろよくできた問題です。

・・・

数式をいじり回すのも良いですが、何をしているのかも考えないと
勘違いしたまま考え込むことになります。
理屈が分かったうえで数式を適切に変形させるようにしましょう。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2022/01/24 15:04

sinx-cosy=-1‥①

siny-cosx=-√3・・②
①の2乗＝sin²x-2sinxcosy+cos²y=1‥③
②の2乗＝sin²y-2sinycosx+cos²x=3‥④
③＋④
sin²x+cos²x+sin²y+cos²y-2(sinxcosy+cosxsiny)=4
(sinxcosy+cosxsiny)＝－１
sin(x+y)=-1
x+y=3π/2・・⑤　, x=3π/2-yを①へ代入
sin(3π/2-y)-cosy=-1
sin3π/2*cosy-cos3π/2*siny-cosy=-1
cosy=1/2からy=π/3,5π/3
⑤から、
y=π/3の時、x=7π/6・・①を満たすが②は満たさない。
y=5π/3の時、x=-π/6・・①、②を満たす。
従って
x=-π/6 , y=5π/3