大学数学の代数の問題です pは素数p>2とする 位数2pの郡は可解郡であることを証明せよ どなたかお

大学数学の代数の問題です

pは素数p>2とする
位数2pの郡は可解郡であることを証明せよ

どなたかおしえてください！！

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/11 04:23

pは素数p>2とする

Gを位数2pの群とすると
GのSylow p部分群が存在するから
G∋aから生成される巡回群(a)の位数
|(a)|=p
となるようなa∈Gが存在する
{1}⊂(a)⊂G
(a)/{1}=～=(a)は位数p巡回群だからアーベル群
|G/(a)|=2だからG/(a)は位数2巡回群だからアーベル群

剰余群{a}/{1},G/{a}がアーベル群だから

Gは可解群である

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/10 22:16

pは素数p>2とする

Gを位数2pの群とする
G∋a≠1とすると
aから生成される巡回群{a}の位数
|{a}|はGの位数2pの約数だから
|{a}|=2.or.p.or.2p

{1}⊂{a}⊂G

{a}/{1}=～={a}は巡回群だからアーベル群

|{a}|=2のとき|G/{a}|=pだからG/{a}は位数p巡回群だからアーベル群
|{a}|=pのとき|G/{a}|=2だからG/{a}は位数2巡回群だからアーベル群
|{a}|=2pのときG={a},G/{a}={1}はアーベル群

剰余群{a}/{1},G/{a}がアーベル群だから

Gは可解群である

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/08 23:03

「郡」じゃない、ということに気がつくところから始めるべきだろう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/08 17:51

「位数2pの郡」とはなにか, 「可解郡」とはなにかをまず書いて理解してみるといいと思う.