位数9の郡の中心の数は1や3ではないことを示せ 大学数学の代数学の問題です。どなたか教えて貰えますか

位数9の郡の中心の数は1や3ではないことを示せ

大学数学の代数学の問題です。どなたか教えて貰えますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/15 03:37

Gを位数|G|=9の群とする

Z(G)={x∈G;∀g∈G,gxg^(-1)=x}
1≠a∈Gとすると
aの位数は3.または.9
位数が9の元aがあるとき
G={1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,a^8}
は巡回群だからアーベル群だから
|Z(G)|=|G|=9

位数が9の元が無いとき
aの位数が3のとき
b∈G-{1,a,a^2}
の位数は3
G={1,a,a^2,b,ab,a^2b,b^2,ab^2,a^2b^2}
G={1,a,a^2,b,ba,ba^2,b^2,b^2a,a^2b^2}
だから
{ab,a^2b,ab^2}={ba,ba^2,b^2a}
ab∈{ba,ba^2,b^2a}

ab=ba^2と仮定すると
aba=b
ba=a^2b
{a^2b,ab^2}={ba,b^2a}だから
ab^2=b^2a
a=b^2ab
ba=ab=ba^2
a=a^2
1=aとなってa≠1に矛盾するから
ab∈{ba,b^2a}

ab=b^2aと仮定すると
bab=a
ba=ab^2
{a^2b,ab^2}={ba,ba^2}だから
a^2b=ba^2
b=aba^2
ba=ab=b^2a
b=b^2
1=bとなってb≠1に矛盾するから
ab≠b^2a
ab∈{ba,b^2a}
だから

ab=ba
だから
Gはアーベル群だから|Z(G)|=|G|=9