liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、 lim(an+bn)=a+bであることを証

liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、
lim(an+bn)=a+bであることを証明せよ、という問題なんですけど、写真の、「仮定により」から下の話がよくわかりません。教えてください…

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/21 14:08

失礼ですが...

No.2 No.3 人は、ちょっと勉強しなおしたほうがいいと思います。
εN と εδ を混同するというのは、さすがにマズイです。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/20 13:19

訂正です。

失礼しました。
後半の部分は以下になります。
０＜｜ｎ－N｜＜Ｎ₃を選べるので(liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、の仮定より)
ここでN₃＝(Ｎ₁+Ｎ₂)/2と置けば、Ｎ₁+Ｎ₂=2εから
｜(an+bn)ー(a+b)|≦｜an-a|＋｜bn-b|＜Ｎ₃＝(Ｎ₁+Ｎ₂)/2＝εとなる、よって、証明された。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/20 08:36

εーδ論法ですね。

liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、任意の数εに対して
０＜｜ｎ－Ｎ｜＜Ｎ₁と０＜｜ｎ－Ｎ｜＜Ｎ₂を選べるのでε＝Ｎ₁、Ｎ₂とおけば
｜an-a|<ε＝N₁と｜bn-b|<ε＝N₂と言った自然数が存在すると言えます。
lim(an+bn)=a+bを証明する場合もおなじです。任意の数εに対して
０＜｜２ｎ－２N｜＜Ｎ₃を選べるので(liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)なら、の仮定より)
ここでN₃＝ε/2と置けば、Ｎ₁+Ｎ₂=2εから
｜(an+bn)ー(a+b)|≦｜an-a|＋｜bn-b|＜Ｎ₃＝Ｎ₁＋Ｎ₂＝εとなる、よって、証明されてた。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/19 22:56

数列の極限の定義を教科書で確認しましょう。

そこに「nをどんどん大きくするとa_nがαにいくらでも近づくときlim[n→∞]a_n=aとする」
と書いてあったとすれば、あなたの学習は、この証明ができるところまで進んでいません。
lim[n→∞]a_n = a の定義は、
任意の正数 E に対して、n≧N ならば |a_n - a|<E が成立するような自然数 N が存在する
です。このように書いてある本を読んでから、この問題に戻ってくるといいでしょう。
極限の定義を理解しているとすれば...

写真の「仮定により」の「仮定」とは、lim[n→∞]a_n = a, lim[n→∞]b_n = b のことです。
上記の極限の定義を展開して書けば、
任意の正数 E に対して、n≧N1 ならば |a_n - a|<E が成立するような自然数 N1 が存在する,
任意の正数 E に対して、n≧N2 ならば |b_n - b|<E が成立するような自然数 N2 が存在する.
これを E = ε/2 に対して適用すれば、
n≧N1 ならば |a_n - a|<ε/2 が成立するような自然数 N1 が存在する,
n≧N2 ならば |b_n - b|<ε/2 が成立するような自然数 N2 が存在する.
となります。これが、「？」と書かれた箇所です。

「絶対値の性質(1.4)」というのは、写真には引用されていませんが、
三角不等式 |x+y| ≦ |x| + |y| のことですね？
これを x = a_n - a, y = b_n - b に対して適用すれば、n ≧ N1 かつ n ≧ N2 のとき
|(a_n - a) + (b_n - b)| ≦ |a_n - a| + |b_n - b| < ε/2 + ε/2 = ε
となります。

|(a_n + b_n) - (a - b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| ですから、
N ≧ N1, N ≧ N2 であるような N を採れば
n≧N ならば |(a_n + b_n) - (a + b)|<ε が成立するような自然数 N が存在したことになります。
ε は任意の正数でよかったので、
これは、lim[n→∞](a_n + b_n) = a + b の定義そのものです。