プロが教えるわが家の防犯対策術!

高校の研究でこれをテーマに選んでしまい、これができないとまぢで卒業できません。助けてください。

誰がやっても、どんな状態から始めてもこの解き方なら100%解けるという方法と、そのことを証明したいのです。

1:まず、パズルを証明するに当たってどんな方法があるのか。
  ルービックキューブに限らず、パズルを証明するようなサイトがあれば教えてください。
2:レポートにしなければいけないため、どのようにまとめればいいのか全く分かりません。
3:できれば証明していただければありがたいです…。(当初は自分の力だけでやろうと思ってたんですが、卒業がかかってくると流石に…)

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A 回答 (8件)

良い本があります。


島内剛一(しまうちたかかず)著『ルービック・キューブ免許皆伝』(日本評論社,1981年3月)です。絶版かもしれませんのでその際は図書館で聞いてみてください。
島内先生は立教大学教授で,コンピュータや数学に関する本を多数書かれています。惜しくも数年後亡くなられました。
他にもキューブの解き方だけを書いた本ならいくつかあるのですが,本書が他所と違うところは,きちんとした数学的な裏づけがあって,それでいて一般の人でも分かるように書かれているというところです。
天の巻,地の巻,人の巻,虎の巻(!)という4つの章からなっており,この本全体がいってみれば「必ず解ける」という証明のようなものです。
ただ,本当に100%解けるのか?という厳密な証明となると,どうしても群論(とくに置換群)の知識が必要になります。
たとえば,揃った状態からスタートして,角のキューブ1個だけ(あるいは辺のキューブ1個だけ)が向きを変えた状態にもっていくことはできません(こわせば別ですが)。
本書は一般向きの図書ということもあり,その辺の話は,巻末に「数学の定理から」として2ページほどさらりと書いてあるだけです。

もう少し数学的な議論は,同じ日本評論社から出ている『数学セミナー』という雑誌に時々載っていました。
私が覚えているのは,80年10月号・11月号の「System5」というコーナーで,それぞれ数ページにわたってとりあげられていました。
また,81年8月号には『ルービック・キューブで群論を学ぼう』という特集があり,40ページにわたっていろいろな記事が載っています。
おそらく都道府県率図書館にバックナンバーがある可能性が高いので,お近くの図書館に問い合わてみて下さい。

今の高校数学では,(少なくとも教科書では)群論は学ばないと思います。
以前は数学IIBという科目で軽く扱っていましたが,84年度入学の学年から新しい指導要領になって,それ以降は習っていないはずです。
大学の範囲まで先取りして教える学校や塾などでは扱っているかもしれませんが。

オーソドックスな証明のやり方としては,
「キューブには3面体と2面体(本によってはコーナーキューブとエッジキューブ,角と辺などともいう)があること」
「各キューブには,位置も向きも正しい状態,位置は正しいが向きが違う状態,位置が違う状態の3通りの状態があること」
をおさえたうえで,
「位置や向きのずれかたにはこういう規則性がある」
「こういう状態のときは,こういった操作を行なうことで,こういう状態に持って行くことができる」
というのをあげていけば,結局は全ての場合を網羅することになるでしょう。
ただ,これだと相当長い証明にならざるをえないような気がします。
もしかしたらもっとエレガントな方法があるかもしれません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!!!!!
まずは群論から理解しないといけませんね。(今から間に合うのだろうか…)

先人に学べということで、色々な本を探してみます。
今までどうやって解けばいいのか見当もつきませんでしたが、
とりあえず群論で解くほうがいいということが分かったので今度の土日にでも探しに行ってみます。

お礼日時:2002/09/26 20:52

度々すみません


本当は、数学者さんのおでましを期待したいところですが。

本気で数式にするのは大変難しそうですよ。
まず、ひとつひとつの駒の動きに注目して法則性を見つけなくてはなりません。
たとえば、ひとつの駒は4回同一方向へ動かせば同じ状態になる数列になると思いま
す。そして、それは、6561のうちのひとつの動きですね。
面の動きを数式にして、極限で1つに収束することを証明すればよいのかもしれませ
ん。

もちろん、ここでの駒の動きというのは、キューブを解く答え(法則)で制限をかけなくてはなりません。

そうです。この法則性を数式にするのが一番難しいのかも。
まぁ、参考になるかどうかわかりませんが。
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この回答へのお礼

そうなんです。これを解くには「そもそもルービックキューブとは何ぞや?」というところから入らなければいけないんです。

あぁ…。今日、倫理の授業を受けて少し考えてたのですが、大陸合理論の合理的に認知する方法ではなく、英国経験論の帰納法を用いて考えればいいのかなぁ…。って思いました。
そう考えると少し出来そうな気がします。

お礼日時:2002/09/26 20:48

こんばんは。


ルービックキューブの解法には、群論が必要です。
最近の高校のカリキュラムには「群」は入っていますか?
十数年前のカリキュラムには入っていたのですが、、、。

群とは、「数と計算」の集合のようなもので、たとえば、
「整数と加減算は、整数同士加減算しても必ず、整数に
なりますから、群を成してします。」
なんていう風にいいます。
「1と-1とiと-iと掛け算」も群です。
「正方行列と積」も群です。但し、この場合、ABはBAと等しく
ないことに注意する必要があります。さて、ルービックキューブですが、

「ルービックキューブと回転操作」は群を成しています。
どんなに回転しても、ルービックキューブがルービックキューブで
なくなることは無いからです。

というわけで、群であることがおわかりいただけましたら、
「群論 ルービックキューブ」で検索をかけて見てください。
山のようにサイトが見つかります。

ただ、サイトが見つかっても、高校生レベルではかなり
難しいような気がします。ルービックキューブを2×2の大きさに
縮小したもので考えてみるのも手ですが、それでも、はっきり
言って、絶望的かも知れません。何しろ、1つの立方体の回転
に関する群(回転群)でも、結構複雑ですから、、、、。

若者のひらめきに期待します。がんばって。
(皮肉ではありません。十数年前に群論にチャレンジして
挫折したものですから、、、、、)。
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この回答へのお礼

群論というのがどのようなものか分からないので何とも言えませんが、「郡」なら習った気がします。(実はこういう系は数学でも苦手な範囲なので…爆)

でも説明を何回も読んでも何のことなのかさっぱりということは習ってないのでしょうね。(これで習ってたらマズゥw)


そして、検索してみました!!!!出て来ました!!!ちゃんと数学的に証明してあるレポート?も発見したかもしれません。なぜ曖昧なのかというと、英語なんです…泣
http://web.usna.navy.mil/~wdj/rubik_nts.htm
どなたか…訳して…笑
というか、大学卒業レポート並みのものなんですね。これって…。泣

お礼日時:2002/09/26 20:42

(再々追記)



ううむ、私もそこまで深く考えたことはなかったですが…。
動きの定義は各人のオリジナリティの見せ所だと思いますが、私だったらこうするかな。

寸法を計るときの「H(高さ),D(奥行き),W(幅)」を使います。
キューブを3階建てのビルに見立てると、1階部分のみを左に回すと「H1左」、右に回すと「H1右」、180度回すと「H1反」。
キューブを手前から奥への3層に見た場合、手前の面を右回りに回すと「D1右」。(以下略)
キューブを左から右への3層に見た場合、左側の面を(正面から見て)上に回すと「W1上」。(以下略)

例えば、下記の参考URLのページの動きを上記の定義で表現すれば、
「W2下、H3左、W2下、H3左、W2下、H3反、W2上、H3左、W2上、H3左、W2上、H3反」
となります。棋譜みたいですね。

いずれにせよ参考図面は付さないと文字だけではレポートを読む方もつらいと思いますが、図と矢印だけでは数学のレポートっぽくないという趣旨であれば上記を参考にしてみて下さい。

参考URL:http://www.alpha-net.ne.jp/users2/dkdkdk/cube/cu …
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この回答へのお礼

自分も、そのやり方で証明していこうとしました。やはりそのやり方で無いとむずかしいですよね。数学的証明となると。
今日考えたんですが、やっぱりとりあえず一面が4ブロック?のルービックキューブの証明を、まずやろうと思います。(スターウォーズのダースモールの顔のルービックキューブがそれなんだとか。)
初めから「あれ」を証明するというのは流石に難しいですよね。

お礼日時:2002/09/26 20:23

(再追記)



なるほど、お困りなのはレポートの手順なのですね。

「ルービックキューブ」で検索すると複数のサイトが出てきます。解き方にもいくつかの流儀(?)があります。まずは自分にとって分かりやすい流儀を選んでください。できれば見なくてもできるようにマスターしてください。

どの流儀も、バラバラの状態から幾つかのステップを踏んで完成に至ります。その各ステップについて、「どのような配列になっていても第1図にすることはできる」「第1図の状態にあれば、どのような配列になっていても第2図にすることはできる」…という要領でレポートを書けば良いのではないでしょうか。

最終ステップが一番分かりやすいはずです。まず最終ステップの部分を書いて、1ステップずつ戻って個々の部分を書いていった方が作業は楽だと思います。
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この回答へのお礼

な、なるほどっ!!!確かに最終段階だと証明できそうです!!!

でも、出来れば「動き方の定義」を簡単に説明できませんか?
ルービックキューブの動き方が複雑で…。
揃えるのは自分で考えた方法なんですが、その方法だととても証明できそうに無いので、できれば証明しやすそうな方法で証明できたら…と思いまして。

お礼日時:2002/09/25 21:01

この証明ってすごい大変ですよね。


まずは、ペーパークラフトでよく見るさいころの展開図から発展させると良いと思います。
そこで、1面9個の枠を書いて、それぞれの動きを定義します。
どこをどう動かすとどのように入れ替わるか定義します。
あとは、キューブを解く虎の巻を見ながら追っていくと良いでしょう。

それを一枚一枚の絵を併せながら解説図を書いて、努力賞を狙ったらいかがでしょう。

すごい量のページになるような気がしますよ。
高校の教師も課題の妥当性についてなにも考えていないのだろうか??
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この回答へのお礼

実はこのテーマにしたのは自分なんです…。泣
自由研究の授業があって、一年間何かを研究するっていうのなんです。
で、何にしようって思ってみんなと違うことがしたかったのでこんなテーマにしたら、先生が「おもしろそうやん。」ってことでこのテーマにしたまでは良かったのですが…。
今から課題を変えてもいいのですが、実はその担当の数学教師があまり好きじゃなく、人を馬鹿にする先生なので、「できませんでした。テーマを変えさせてください。」って言うと確実に馬鹿にされて、その先生に負けた気がするので嫌なんです。

最初は
(1)右に回した場合…
(2)左に回した場合…
(3)下に…
ってやってたんですが、こんな証明の仕方じゃ一生かかっても出来ないことに気が付き、そのまま足踏み状態なんです…。
どうかお願いします。

お礼日時:2002/09/25 20:27

(追記)たとえばこんなサイトがあります。



参考URL:http://isweb11.infoseek.co.jp/diary/ksuehiro/ind …
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この回答へのお礼

ほんとありがとうございます。
こんなに早くレスが付くなんて思ってもみませんでした☆
どうかほんとお願いします。

お礼日時:2002/09/25 20:18

当時何かの雑誌で具体的な攻略法(ステップごとの手順)を読みました。

すぐに探し出せるかどうか自信がありませんが(他の方の投稿にも期待)証明はできますので安心してください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2002/09/25 20:16

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1^3=1
2^3=8
3^3=27
4^3=64
5^3=125
6^3=216
7^3=343
8^3=512
9^3=729

これは暗記する必要もないです^^; 計算すればそんなに難しくないでしょう?

下一桁だけ見て? 
1→1
2→8
3→7
4→4
5→5
6→6
7→3
8→2
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今日、1日中WEBを探していたのですが、どこにも見当たらなくて困っています。
是非、何かのヒントでも良いので教えて下さい。
宜しくお願い致します。

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お探しの解法は
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完全一面を揃えた後、
「中央の列」「背面を揃える」という手順が前後するのですが
参考になりそうなURLを貼っておきます。

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Q数学的考えってどんなことですか?

幼稚な質問ですが、ご存知の方、教えてください。

私は学生の時、算数も数学もあまり興味がなくて微分/積分 関数、、、なんて
理解できなくても足し算/引き算あたりがわかれば生きていくのに
困らないだろうと考えていました。
しかし当時の数学教師が「数学的思考は人生の、きっと役に立つよ」と
教えてくれました。
成人した私は、しばしば周りの人間から「数学的考えができるね」と言われます。
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Aベストアンサー

 
「数学的思考」と「論理的思考」はまた別なのですが、数学は論理的という考えが一般化しているようで、「違い」がどこにあるのか、なかなか理解しにくいようです。

簡単には、数学は論理的でもあるのですが、その使用する「論理」のレンジが狭いということがあります。「論理的思考力」は、もっとレンジが広く、広い世間知や経験や知識・教養などをベースにして、総合的に発揮される思考能力です。これは、数学の論理思考よりも、修得が難しいのです。

「数学的思考」とはどういうものか、とりあえず、それはデジタル的、解析的な思考法だと言えます。無論、数学的な形式論理思考は含まれます。

具体的に例で言いますと、何か会社で問題などがある時、その問題を、ステップや要素に分けて考え、問題の性質を、解析的に分析し、どう対応すれば問題が解決するか、ステップや要素の持つ意味や働きに応じて、「見通しの良い」回答が出せるような思考が、数学的思考と言えます。

「論理的思考」の場合、こういうデジタル的、解析的な思考も無論しますが、もっと総合的で、相互交差吟味などの内的検証や、無意識の直観の吟味など、非常に幅広い「思考力」を駆使して、ものごとの本質に迫ろうとする思考です。

数学的思考は、外から見ると、「問題の整理の仕方」が明晰、解決の筋道が、分かり易くステップ的デジタル的になているという風になります。実際、内部の思考処理でも、こういうことを行っていることになります。

これは自然科学の基本手法である、要素還元的な方法で問題を眺め、把握し、次に数学の問題を解く時のように、ステップ的な回答を出すような思考で、これが、数学的思考的だということになるのでしょう。

数学的な思考は、ある意味で、形式的な思考で、綺麗に問題を把握してエレガントな回答を出すように見えますが、総合的な論理思考ではないので、抜け落ちが出てきます。

数学的「形式性」の限界というか弊害があるのです。これは、あの人は、堅苦しいことを考える人だという評価にもなりますし、思考の余裕が狭いという評価にもなります。

質問者が述べている通り、「数学的思考」は、足し算引き算程度でも実は十分なのです。無論、証明のステップ的思考法というのは修得していなければまりません。しかし、訓練しなくとも、そういうステップ的思考が馴染んでいるという人もいるのです。

(金銭の損得問題で、どうすれば得か、ということを真剣に考えていると、微積分など習わなくとも、こういう思考は訓練されます。逆に微積分はできるのに、お金の損得勘定ができないという人も結構います。高校・大学程度の数学だと、答えが分かっているものがほとんどで、「解き方のテクニク」などがあります。しかし、現実世界の金銭問題は、場合場合で問題が異なり、正解のない問題もたくさんあるのです。こういう問題には、学校数学の思考法や解法テクニクはあまり意味を持ちません)。

問題について、デジタル的、つまり数字的に考え把握し、数字の計算をきちんと行っているというのが、おそらく、他の人に「数学的考えができる」と言われる根拠だと想定します。これは関係ない要素を切り捨てて、数値的に評価できる面を思考するということでもあるのです。

他の人は、人間関係の問題とか、感情の問題が入って、なかなかスパっと割り切れない問題を、数やステップで置き換えて、スパっと切って回答にするという「合理的」問題思考だと、数学的考えが得意という風に言われると思います。

数学と論理の関係は難しいです。以下の質問のわたしの回答も参照して見てください:

>No.272799 質問:(^_^.) 数学がよくできる人って、ほんとうに頭がよい人??
>http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=272799
 

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=272799

 
「数学的思考」と「論理的思考」はまた別なのですが、数学は論理的という考えが一般化しているようで、「違い」がどこにあるのか、なかなか理解しにくいようです。

簡単には、数学は論理的でもあるのですが、その使用する「論理」のレンジが狭いということがあります。「論理的思考力」は、もっとレンジが広く、広い世間知や経験や知識・教養などをベースにして、総合的に発揮される思考能力です。これは、数学の論理思考よりも、修得が難しいのです。

「数学的思考」とはどういうものか、とりあえず、...続きを読む

Q数学の自由研究について

中学校の宿題で、
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っていうか調べることはないでしょうか?
教えてください!!お願いします。。

Aベストアンサー

数学に関する歴史について調べてみては如何でしょうか。

例えば、エジプト文明ではどんな数学があったのかとか、
どんな経緯で円周は360度と決まったのか、などです。
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Q数学レポート題材

現在中学3年生です。
受験生にも関わらず、宿題が多すぎてバテテきています・・・
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今最後の宿題として、数学のレポートは何を書けばいいのかかなり迷っています・・・過去3~4回は書いてきたんでそろそろネタ切れです・・
(前は、歴史や魔方陣、ハノイの塔などを調べてきました。)
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(習っている単元ですが、現段階では平方根までは行きました。2次方程式からはまだ習っていません。)

    宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 同じく中3なので、なんかの参考になればと思います。
 素数についてかいてみたらどうでしょうか。素因数分解はやっているはずなので問題ないと思います。
例えば、素数が永遠に存在することの証明とか、ゴールドバッハの予想とか、いろいろありますからね。
ちなみに素数が永遠に存在することの証明は以下の通りです。

最大の素数をMとする。このとき、
それまでに存在する全ての素数の和に1を足した数をn+1とする。
n+1はそれまでに存在するどんな素数でも割り切れないから
素数は永遠に存在する。

ゴールドバッハの予想というのは、2より大きい全ての偶数は素数の和で表せる、というものです。「予想」というのはまだ誰も証明できていないということなので、簡単な定理なのに誰も証明できていない、という風にまとめられます。

あと、自分はどういう証明なのか知りませんが、ある素数nとその二倍の整数2nの間には必ず素数が存在する、というのもあるそうです。

 素数だと数式を考えたりする必要はほぼないので、楽といえばらくだと思うんですけどね。

Q15パズルゲームについて

15パズルゲームって知ってますか?
あれはどのようにしたらできるものなのか、そのやり方を教えてください。
それとできないパターンもあるものなのですか?

Aベストアンサー

 
>パソコンのパズルの早さのランキングでは
>10秒台とかもあったんですよ。それも慣れですかね?
>それとも、一番最初の形が最後の形に近かったのでしょうか?
>まあ、おそらくそうですね。

先の回答では、「不可能な配置もあるのですか」という質問に対し主に答えたので、どうすれば、早く解けるのかということに主点がありませんでした。

「空き場所を含めた輪を回すようにして行く」というのは、実は、先のパリティの保存という考え方から出てくるのです。

最終完成状態を仮に、1から15までの数字が並び、最後に空きが来る配置だとすると、1から15の数字の整列をしなければならないという課題と、もう一つ、最後の転置で、下段第四段に空きが来るようにしなければならないという,二つの課題を満たしつつ、石の移動を行わねばならないのです。

前の整列パターンを造るということだけを考えていると、うまく整列したと思っていると、最後のところで、空きがうまく、第四段に来なくなることがあります。そうなると、整列が壊れる訳で、もっとたくさん石を動かさなければならないということになります。

「空き場所を含めた輪を回すようにして行く」というのは、数字を整列させて行くのですが、「輪を回す」というのは、右で、石を上に上げれば、空きは下に降りて来て、これを元のパリティに戻すには、石をもう一度上から下に下げないと行けないのですが、左で、そういう操作を行うと、石を整列させるような動かし方で、しかも、空きの位置は元に戻しているという操作になるのです。

空きの位置が、到達配置の空き位置に来るように、輪を回していると、数を整列させるように石を動かしていると、最後の段階で、空き位置がうまく決まって、しかも数の列はうまく整列しているということになるので、問題が早く解けるのです。

「速く解く動かし方」としては、一般的に通用するのは、この方法しかないのです。上で説明したことから、「一般的な方法」と言えば、これしかないのがわかるのです。

基準の形で考えて、同じパリティの「解ける配置」の数は、15!/2個あるのであり、これは、約6500億パターンというとてつもない数のはずです。色々な配置で、理論的に、何回の転置で、最短で、到達最終配置に達することができるかは、配置によって異なり、難しすぎるのではっきり分かりませんが、一般には、最短で100転置とか、数百転置が必要だと考えるのが自然です。

理論的な最短転置数が100転置の場合、30秒に100回も石を動かせる訳はないので、30秒では、絶対、解けないのです。

最短転置数が10とか20の場合、10秒とか30秒で解ける可能性があります。しかし、こういう場合は、実は配置をよく眺めると、最終配置パターンからの転置のずれというのが、直観的に洞察できることがあります。

空きを含めた輪を回すというのは、テクニックというより、そういう方法を結局は取らないと、問題は解けないのです。

最短転置数が少ない場合は、最終状態をどう崩すと、こういう配置になるのかが直観的に分かるのであり、その逆の石の動かし方をすればよいということになります。

しかし、こういう直観的洞察で、解き方が分かるのは、最短転置数30ぐらいまでのはずです。それ以上複雑だと、36ステップだと思って,実は360ステップの場合もあり、こういう場合は、石を理論的に最少数動かすだけで、6分とか10分とか必要になります(1秒に1個石を動かして、360秒つまり6分かかるのです)。

30秒で解けると言っている人は、最短転置数がせいぜい40ぐらいまでの特殊なケースだけを解いていることになります。

もし石を自由にならべかえて配置を造り、これを解くようにという場合、理論的に、その半数は、永遠に解けない配置です。パリティが変化しないような配置ヴァリエーションしか選べないようになっている場合、最終状態を崩して、乱れたような状態にするのに、せいぜい10とか20、多くて30,40ぐらいの石を動かして配置を変えることになります。

こういう風だと、最短転置数も、10とか20、多くて30,40以下になるのであり、30秒で解けるということが言えるようになるのですし、実際、この程度の変化だと、どうやって、元の配置を崩したのか、先に述べたように、直観的に見て分かることがあるのです。

最初は分からなくとも、輪を回すように転置させて行っていると、パターンが見えてくるのであり、すると、このパターンの解き方はこれ、という風になり、あっという間に解けます。

コンピュータでも、手動の配置変化でも、せいぜい40ステップぐらいで解けるような配置の変換しか行っていない可能性が高いのです。30秒で解けるといっている人は、30秒で理論的にも解ける問題を解いているので速いのであって、理論的に、5分は絶対必要な配置というのは、出てこないようになっている可能性があります。

また繰り返しになりますが、30秒で解ける問題は、最短転置数が30か20ぐらいのもので、この程度の転置だと、その配置パターンから、元の配置からのずれが分かるのであり、「ずれたパターン」を読み取る力というか、パターンの規則性を記憶すると、速く解けるということになります。

速く解けるテクニックは、最短転置数の少ないパターンを、どれだけ覚えているかによると言えます。輪を回す方法で、最短転置数の少ないパターンへと進めて行き、ある段階で、「解けるパターン」になっているとパターン読みよりができると、それで問題は解けたことになります。
 

 
>パソコンのパズルの早さのランキングでは
>10秒台とかもあったんですよ。それも慣れですかね?
>それとも、一番最初の形が最後の形に近かったのでしょうか?
>まあ、おそらくそうですね。

先の回答では、「不可能な配置もあるのですか」という質問に対し主に答えたので、どうすれば、早く解けるのかということに主点がありませんでした。

「空き場所を含めた輪を回すようにして行く」というのは、実は、先のパリティの保存という考え方から出てくるのです。

最終完成状態を仮に、1から...続きを読む


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