有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか

「lim(x→∞){√(ｘ＾2－1)－(ax＋b)}=2が成り立つように、定数a.bの値を求めよ」
という問題について

解答に
「lim(x→∞)ｘ＝∞より、与式の左辺が有限な値になるのは、
lim(ｘ→∞)（√(1－1/x-2)-a-b/x）=0すなわち1-a=0
∴a=1のときである。」
と記載があります。
このような関数の極限を求める際に、∞×ゼロのときは有限な値を取ると一般化して考えても差し支えありませんか。また、この知識は数学の常識なのでしょうか。

質問者からの補足コメント

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  回答していただいたのはありがたいのですが、私の質問からはずれていると存じます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/08/25 16:17

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  回答ありがとうございます。
  添付されている解答の記載だけでは不十分なことはわかりました。どのように解答を出せばよいのでしょうか。混乱してきました。

    補足日時：2022/08/25 17:46

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/08/25 21:46

結局a＝1が必要条件とわかったから

√(ｘ＾2－1)－(ax＋b)＝√(ｘ＾2－1)－(x＋b)＝√(ｘ＾2－1)－x－b
だけどもNo.2さんが言うように
im(x→∞)√(ｘ＾2－1)-ｘ＝0　だから
√(ｘ＾2－1)－(x＋b)の極限値は－ｂでこれが＝2だから
ｂ＝－2　になる。
だから答はa＝1、ｂ＝－2　です。

No.5 回答者： 右左 回答日時： 2022/08/25 21:34

必要どけど、十分じゃないとかんがえればいい。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/08/25 21:07

＞lim(ｘ→∞)（√(1－1/x-2)-a-b/x）=0

x → ∞ のとき 1/(x-2) → 0 、b/x → 0 ですから、
上の式は 1-a=0 で a=1 となりますね。
この場合は 収束 しますが、一般的には そうとは言えません。
問題が 次のような式ならば ∞ に発散します。
lim(ｘ→∞)（√(x－1/x-2)-a-b/x）=0 。
これなら a=x=∞ で 一定に値には成りません。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/08/25 17:08

＜∞×ゼロのときは有限な値を取ると一般化して考えても差し支えありませんか。

＞
たとえばｘ/(ｘ＋1)はｘかける1/(ｘ＋1)でｘ→∞のとき∞×ゼロで
実際の極限値は　1
ｘ^２/(ｘ＋1)はｘ^２かける1/(ｘ＋1)でｘ→∞のとき∞×ゼロだけど
実際の極限は∞というように
∞×ゼロのときは有限な値を取るとは限りません。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/08/25 16:19

＞∞×ゼロのときは有限な値を取ると一般化して考えても差し支えありませんか

ダメです。

lim(x→∞)√(ｘ＾2－1)-ｘ＝0
であることを認識しましょうという話。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/25 15:55

> 与式の左辺が有限な値になるのは

「a≠1のときには発散する」ということから言えるのは「だから、与式の左辺が有限な値になりうるのはa=1のときだけである」。これは必要条件を述べているに過ぎません。だから、a=1が問題の答になるかどうかは別途確認が必要。