No.2ベストアンサー
- 回答日時:
n=2^p(1)+2^p(2)+....+2^p(i)
m=2^q(1)+2^q(2)+.....+2^q(j)
とおきます。p(1)>p(2)>.....>p(i)>=0
q(1)>q(2)>.....>q(j)>=0とします。
nCm=n!/m!(n-m)!が奇数になるということは
n!とm!(n-m)!を素因数分解したときの2のべきが等しいということです。n!の素因数分解をn!=2^P*....とおく。
n!には2^(p(1)-1)+2^(p(2)-1)+....個の2の倍数があり、2^(p(1)-2)+2^(p(2)-2)+....個の4の倍数があり......1個の2^p(1)のばいすうがあります。これから
P=2^(p(1)-1)+2^(p(2)-1)+....+2^(p(1)-2)+2^(p(2)-2)+....+1=2^p(1)-1+2^p(2)-1+....+2^p(i)-1=
n-iとなります。n!=2^(n-i)*...
同様にm!の2のべき指数はm-jです。m!=2^(m-j)*...
ここでn-m=2^r(1)+2^r(2)+.....+2^r(k)とおきます。
(n-m)!のべき指数はn-m-kです。
nCm=n!/m!(n-m)!の分子の2のべき指数はn-i,分母はm-j+n-m-k=n-(j+k)
分母分子のべき指数はi=j+kのとき等しくなる。
{p(1),p(2), ...}⊃{q(1),q(2), ...} のときは明らかに
k=i-jである。もし{p(1),p(2), ...}⊃{q(1),q(2), ...} とならないときはi<j+kとなってしまう。
このような方針で証明してはどうでしょう。
うーんと納得、予想以上のご回答に感謝です。
>もし{p(1),p(2), ...}⊃{q(1),q(2), ...} とならないときはi<j+kとなってしまう。
これは2進数表記(0と1を使った表記)の筆算での加法を思い浮かべると、
m =2^q(1)+2^q(2)+.....+2^q(j)
+) n-m=2^r(1)+2^r(2)+.....+2^r(k)
------------------------------------
n=2^p(1)+2^p(2)+.....+2^p(i)
で繰上りが無いときが、j+k=iで、
「1+1=10」といった繰り上がりが1つでもあると、「1」の個数は少なくなり、j+k>iなのですね。
No.1
- 回答日時:
なかなかハイセンスな整数問題ですが、二項係数絡みなので、困ったときはパスカルの三角形を書いてみると何かひらめくことがあるかも知れません。
パスカルの三角形を書いて、奇数になるものに○をつけてやると証明の方針が見えるかも...具体的にどうするかといわれると、自然に思いつく方法としては数学的帰納法のように思います。命題P(n)を、
P(n):1≦m≦nに対して、{p(1),p(2), ...}⊃{q(1),q(2), ...}ならばnCmは奇数
命題Q(n)を
Q(n):1≦m≦nに対して、nCmが奇数ならば{p(1),p(2), ...}⊃{q(1),q(2), ...}
とおいて、それぞれnについての数学的帰納法で証明するわけです。その際、パスカルの三角形でも使用する性質、nCm+nC(m+1)=(n+1)Cmが役に立つと思います。
他にもよいアイデアがあるかも知れませんが、すぐには思いつきませんでした。
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