単位元について

今、自分で以下のようにいくつかルールを定めて群を作ろうとしています。
まず、群にしたい集合をΩ、その元をaXiと表します。
(ただし、aは別の群(G, +)の任意の元、iは任意の自然数)
①a, b∈G、i, j∈Nに対して、a=bかつi=jならばaXi=bXj
②演算★:Ω×Ω→Ω, (aXi, bXj)→aXi★bXjについて、i=jならば
　aXi★bXi=(a+b)Xi
上記①②についての単位元を考えた時、
aXi★0GXi=(a+0G)Xi=aXi、aXj★0GXj=(a+0G)Xj=aXjなどはできますが、単位元の一意性[0GXi=0GXj(i≠j)]が満たせません。
ルールに0GXi=0GXj(i≠j)である事も加える必要がありますでしょうか？
個人的には①でaXiの等号条件を定義しているので、他にルールを付け加えるかして計算上で0GXi=0GXj(i≠j)を導きたいなと考えています。

変な質問で恐縮ですが、ご回答頂けますと幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/09/12 16:13

Nを自然数全体の集合として、列{Xi}とはNからナニカEへの写像ですんで、{Xi}の要素であるモノx（x∈E）の集合をΞとしましょう。

すなわち、
　　Ξ = {Xi| i∈N }
すると、Ξは高々可算無限個の要素を持ち、
　　Ξ ⊂ E
である。
　さてaXiという積は、これをa•Xiと明示することにすれば、要するにGとΞからナニカZへの写像ですんで、（もはやNは関係なくて）
　　•: G×Ξ → Ζ
である。（なんでNなんか持ち出したんだか、少なくともこの段階では全く分からん。）
　で、
　　Ω = {a•x | a∈G ∧ x∈Ξ}
とした。
　さて、ご質問の趣旨からすると★はΩで閉じてなくちゃ話にならず、つまり
　　★: Ω×Ω → Ω
であるに違いないのだけれども、しかし★の定義（なり、満たすべき公理なり）はご質問には書いてなくて、単に、Ωの部分集合
　　Ω[x] = {a•x | a∈G}
上で★は
　　(a•x)★(b•x) = (a+b)•x
だ、とだけ決めてある。するともちろん、Ω[x] は★について部分群で、Gの零元を0GとするときΩ[x] の零元が(0G)•xである。

　ご質問の話はここまで。
　これだけだと、たとえば「 x∈Ξ, y∈Ξ, x≠y のとき、Ω[x]∩Ω[y]= ∅ 」ということであっても一向に構わない。というわけで（No.1でご指摘の通り）x∈Ξ, y∈Ξ, x≠y のとき(a•x)★(b•y)がどうなるのかを決めないことには、どうにもならんでしょう。
　（そして、わざわざNなんか持ち出した理由は、(a•x)★(b•y)がどうなるかを決める時に x=Xi, y=Xj であるi, jがナニカ絡む、ということなのかなあ、という気がするわけですが。）

この回答へのお礼

皆様ご回答ありがとうございました。
装置の規則性を作ってたのですが、i≠jの場合も定義しなきゃなんですね、、
一番詳しく記載くださったstomachmanさんをベストアンサーにさせて頂きました！
ありがとうございました

お礼日時：2022/09/13 07:33

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/12 09:44

演算★:Ω×Ω→Ω, (aXi, bXj)→aXi★bXjについて、

i=jならば
　aXi★bXi=(a+b)Xi
i≠jならば
　aXi★bXj=?
の
?
を定義しなければ
演算★を定義した事にはなりません