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そもそもが、観測値 (xi, yi) に対して
y = ax + b
という回帰式を「最小二乗法」で求めようという話ですよね?
①から②へは、単純な算術的変形というよりは
(1/n)Σxi = μx (x の平均値) (a)
(1/n)Σyi = μy (y の平均値) (b)
という関係を使います。
①の分子は
nΣ(yi*xi) - Σxi*Σyi
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi) - (1/n)Σxi*(1/n)Σyi] ←n^2 でくくる
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi) - μx*μy] ←(a)(b) を使った
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi) - (1/n)Σ(μx*μy)] ←Σ(μx*μy) = nμx*μy
= n^2[(1/n)Σ(yi*xi - μx*μy)] ←Σ をまとめた
= nΣ(yi*xi - μx*μy - μx*μy + μx*μy) ←μx*μy をダミーに分解
= nΣ(yi*xi - xi*μy - μx*yi + μx*μy) ←Σxi = Σμx, Σyi = Σμy
= nΣ[xi(yi - μy) - μx(yi - μy)] ←共通項でくくる
= nΣ[(xi - μx)(yi - μy)]
= nΣ{[(xi - (1/n)Σxi][yi - (1/n)Σyi]} (c) ←(a)(b) を元に戻した
①の分母は
nΣ(xi)^2 - (Σxi)^2
= n^2{(1/n)Σ(xi)^2 - [(1/n)(Σxi)]^2} ←n^2 でくくる
= n^2{(1/n)Σ(xi)^2 - μx^2} ←(a) を使った
= n^2{(1/n)Σ(xi)^2 - (1/n)Σμx^2]} ←Σ(μx*μy) = nμx*μy
= n^2{(1/n)Σ[(xi)^2 - μx^2]} ←Σ をまとめた
= nΣ[(xi)^2 - μx^2]
= nΣ[(xi)^2 - 2μx^2 + μx^2] ←μx^2 をダミーに分解
= nΣ[(xi)^2 - 2xi*μx + μx^2] ←Σxi = Σμx
= nΣ[xi - μx^2]^2
= nΣ[xi - (1/n)Σxi]^2 (d) ←(a) を元に戻した
(c)(d) を使って
① = nΣ{[(xi - (1/n)Σxi][yi - (1/n)Σyi]} / nΣ[xi - (1/n)Σxi]^2
= Σ{[(xi - (1/n)Σxi][yi - (1/n)Σyi]} / Σ[xi - (1/n)Σxi]^2
= ②
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