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二項定理を用いて、つぎのことを示せ。
x>0のとき(1+x)のn乗>1+nx ただし、nは2以上の自然数
この問題を解いてみたのですが、これであっていますか?

「二項定理を用いて、つぎのことを示せ。 x」の質問画像

A 回答 (3件)

二項定理を使えば(No.1で教えてもらった式に従って)nが0,1の場合も含めてどんな自然数nについても


  (1+x)^n = 1 + nx + ....
という格好になることがわかる。でも、これだけでは証明になっていません。もうひとつ、「n≧2のとき、この式の"...."の部分は正の値を持つ」ということを証明する必要があります。(実際、n=0とn=1 の場合には 
  (1+x)^n = 1+nx
になります。すなわち n=0とn=1 の場合には"...."の部分が0である。だから、問題の定理が成り立つのはn≧2の場合だけです。)
 この証明には、
 「どんなn, どんな k についても、n≧2かつn≧k≧2 ならば (nCk)(x^k) >0 である」
という命題を証明すれば十分ですね。「nCkは何を意味するか」ということさえわかっていればチョー簡単。
(「十分」というのは、「どんなn, どんな k についても、n≧2かつn≧k≧2 ならば (nCk)(x^k) >0 である」 は「n≧2のとき、この式の"...."の部分は正の値を持つ」の十分条件になっているからです。このことも、頑張って理解してね。)


 ところで(ご質問の趣旨とはちょっとはずれまずが)二項定理をあからさまに使わない証明もできます。
(1)  n=2のとき、「どんなxについても、x>0 ならば (1+x)^n > 1+nx」 が成り立つ。
という命題は、ご質問にお書きの n=2の場合の証明によって正しいとわかっている。そこでさらに
(2)  あるnについて、「どんなxについても、x>0ならば(1+x)^n > 1+nx 」が成り立つとき、「どんなxについても、x>0のとき(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x 」が成り立つ。
という命題を証明すれば、数学的帰納法によって
(3)  どんなx, nについても、「n≧2かつx>0ならば(1+x)^n > 1+nx」 である。
ということが言える。

 (2)を書き換えると
  どんなxについても、「(x>0 かつ (1+x)^n > 1+nx) ならば ((1+x)^n)(1+x) > (1+nx)+x」である
です。これもご自分で証明できるのではないかな?
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nは2以上の自然数 であれば、二項定理より (1+x)^n=nC0・1^n・x^0 + nC1・1^(n-1)・x^1 +・・+ nCk・1^(n-k)・x^k +・・+ nC(n-1)・1^1・x^(n-1) + nCn・1^0・x^n はすぐに言ってもよい。

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nは2以上の自然数なので、n=2の時だけの証明ではいけない。

また、二項定理を用いてという条件もあるので、写真の証明では正解とならない。

x>0の時
二項定理より、(1+x)^n=nC0・1^n・x^0 + nC1・1^(n-1)・x^1 +・・+ nCk・1^(n-k)・x^k +・・+ nC(n-1)・1^1・x^(n-1) + nCn・1^0・x^n
=1・1・1+n・1・x+・・+nCk・1^(n-k)・x^k+・・n・1・x^(n-1)+1・1・x^n
=1+nx+・・・n・x^(n-1)+x^n
>1+nx
以上より、(1+x)^n>1+nx が証明された。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
問題文にnは2以上の自然数とありますが、それは関係なく、使わないということですか?

お礼日時:2019/02/16 21:23

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