ma=Fは数学で証明されていない？

ma=Fが数学で証明されていないと聞いたのですが、本当ですか？
いろいろな現象を見ていると、ma=Fのようになってるんじゃいかなって、
程度だと聞いたのですが。

No.5 回答者： m_nama999 回答日時： 2007/08/31 02:31

証明も何もF=maは定義式なんですが

質量に加速度をかけたものを力と呼ぼうと勝手に人が決めただけなんだから定義も糞もない。
1+1が2になるのを証明できないのと一緒。

No.4 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/30 20:56

ffffgさん、こんにちは。

> ma=Fが数学で証明されていないと聞いたのですが、本当ですか？

本当です。

そもそも、ma=F は数学的に証明するものではなく、観測事実に基いて検証されるものです。


ma=Fに限らず、物理法則の正当性を人々が納得しているのは、「数学的な証明」によってではなく、「仮設演繹」（仮説演繹」とも書く）と「帰納法」という二つの自然科学の考え方に基いています。

現実には「仮設演繹」と「帰納法」の両方の方法が、互いに補いつつ用いられているので、両方を説明します。


まず「仮設演繹」（かせつえんえき）とは、最初に法則を仮定し、様々な現象を数学的に導き、その結果を現実に起きる現象と比較し検証することにより、仮定した法則の正しさを確認しようという考え方です。ANo.3さんのお答えに書かれているのは、こちらの立場のことです。

この考え方では、法則は数学でいう「公理」に相当し、仮定するものであって、「定理」のように証明するものではありません。観測事実との比較によって、より正しそうだということを間接的に検証できるだけです。しかし、いくら観測事実と比較しても、可能な状況をすべて調べ尽くすことは実際上不可能なので、この検証は常に不完全であり、数学の証明のように完全なものにはなりません。

実際、非常に小さいものを考えるときや、物体の速さが光の速さに比べて無視できないぐらいの状況では、ma=Fでは説明できない現象が観測されてしまったのはご存知のことと思います。そこで量子力学や相対性理論が必要になってきたわけです。

なお、このように仮設演繹の立場ではma=Fは「仮定」なわけですが、その立場で見たときに、ニュートンの運動の法則には様々な解釈の仕方があり、ma=Fは「質量」を定義するものであると解釈する考え方もあります。


次に、「帰納法」（きのうほう）について説明します。「帰納法」とは、仮設演繹とは逆に、沢山の実験データから、それらを矛盾なく説明する法則を抽出しようという考え方です。

帰納法の過程では、数学を応用するわけですが、「数学的な証明」のように、実験データの正しさ以外に何も仮定せずに「法則」を導くことはできません。なぜなら実験データは、一つ一つ人間が集めるものですから、有限の数しかないわけですが、一旦法則の形になったものは、無数の状況に適用できるので、平たく言えば、無限に多くの情報を含んでいることになるからです。有限の情報から無限の情報を含むものを導くわけですから、その過程では、何らかの仮定が必要になってきます。

このように帰納法の立場でも、物理法則は数学的に証明されたものとはいえないわけです。


> いろいろな現象を見ていると、ma=Fのようになってるんじゃいかなって、程度だと聞いたのですが。

その「程度」という言葉がどのような意味かによって、その言い方が正しいかどうかが変わってきます。

まず現実に起きていることを説明すると、上で述べたような「仮設演繹」「帰納法」の考え方に基いて、ma=Fは、極めて膨大な観測事実に基いて検証されています。また、ロケットの打ち上げを含む、無数の実用において、法則の適用範囲を間違わない限り、現にうまく機能していることも、間接的な検証になっています。

このような検証は、極めて膨大で広範なものなので、その「適用範囲内」では、ma=Fの正しさを納得するのに、現実的に十分であると考えられています。

しかしながら、それは数学的な証明ではないわけで、実際、「適用範囲」を超えた状況では、ma=Fで説明できな現象が観測されていることは、上でも説明したとおりです。

これが現状ですが、その現状を見て、「いろいろな現象を見ていると、ma=Fのようになってるんじゃいかなって程度」と感じる人には、「その程度」なのだし、それよりもはるかに確実性の高いものなのだと感じる人には「その程度ではない」ということになります。

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2007/08/29 19:32

　Ｆ＝ｍａに限った事ではないのですが、物理の基本法則は、言ってしまえば全て仮定です。

ただ、その仮定を認めると色んな現象を説明できる事がわかっている、実験保証付の仮定です。なので、「いろいろな現象を見ていると、ma=Fのようになってるんじゃいかなって、程度だと聞いたのですが」は、言い当て妙です。

　むかし相対性理論の話を初めて聞いたとき、時間が遅れるだの（タイムマシンか！）、長さが縮むだの（ミクロの決死圏か！）、質量が増えるだの（原爆の秘密か？）で、けっこうわくわくしました。
　それらが原因で一般入門書を読み漁り、これらの原因は「光速度の不変性」にあるらしい、という事がわかりました。それで、本物の相対性理論を読めば、光速度の不変性を説明してくれるに違いないと、長い事信じていました。ところが長じて最初に読んだ特殊相対性理論の専門書には、こう書かれていました。

　・光速度の不変性は「原理」である．観測事実だから認めろ！．

と・・・。もっとも、もう少し深い仮定からの説明づけはできます。それは、

　・任意の慣性系における物理法則の不変性．

という奴です。この基本仮定（基本法則）も、その仮定を認めると色んな現象を説明できる事がわかっている、実験保証付の仮定です。
　そうでない物理的定理、例えば保存系における力学的エネルギー保存則などは、基本仮定から数学的に証明できます。

No.2 回答者： Denkigishi 回答日時： 2007/08/29 19:11

ＮＯ１様がご指摘の通り、貴方の質問文では何を質問したいのかを正確に伝えていません。

その上で、本当は貴方は何を聞きたかったのかを推定してみると、おそらく「ｍａ＝ｆという数式は、真理ではなく、質量と加速度と力の間に成り立つ関係を近似的に表した式であると聞いたが本当か？」というような意味では無いかと思われます。
もし質問の意図がそういうことだとすれば、正にその通りです。
ｆ＝ｍａはニュートンの第２法則ですが、一般に「○○の法則」といわれるものは、実験データを積み重ねて検討した結果、おそらくこういうことだろうと推測して出来たものです。電気の基本式であるオームの法則もそうです。しかし現実の物理現象を説明する上での信憑性は極めて高いもので我々凡人は素直に１００％正しいと考えていいものです。だから変な懐疑心は起こさないようにしてください。法則に疑問を持って研究するには、現在までの物理学をすべて修得した後でないと研究する能力も資格もないと考えます。それより前に、まず正しい日本語の表現力をマスターしましょう。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2007/08/29 16:36

そもそもma=Fの"何"を数学的に証明しようと云うのですか？

数学的に見ればma=Fはただの式です。
y=2x+1やy=x^2と何も違いありません
物理ではmは質量と呼ばれたり、aは加速度と呼ばれたりなどあるでしょうが、数学ではmといえば質量などという決まりはありません。
そもそも純粋数学には質量も加速度も出てきません。

ma=Fは数学を応用して、物理の法則を記述したただの式です。

あなたの質問はy=x^2は証明されていないのですか？というのと変わりません。
何が証明したいのか？それが重要です。