環論、部分k代数について

kを環、Aをk代数、S={a1,…,an}⊂Aを部分集合とした時、f(x1,…,xn)∈k[x1,…,xn]によりf(a1,…,an)と表されるAの元全体の集合をk[S]とする。

k代数の単射準同型Φ:k[S]→Aが存在する時、k[S]をAの部分k代数という。

k[S]がAの部分k代数であることを証明したいのですが、参考書の証明で和、積で閉じていると、なぜk[S]がAの部分k代数であることが示されるかが分からず困っています

写真の命題1.3.17(1)です

ご教授よろしくお願いしますm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/12 05:52

う〜ん。

＞f(x1,…,xn)∈k[x1,…,xn]によりf(a1,…,an)と表されるAの元全体の集合をk[S]とする。
というのが、けっこうヤバい物言いなんだけどなあ。
本来、多項式環 k[x1,…,xn] の元に代入できるのは k の元だけなので、
そこへ A の元を代入しちゃダメなんですよ。
ケイリー・ハミルトンの定理の誤った証明について、線型代数の講義で聞きませんでした？

ともあれ、言いたいことはわかるので、写真の証明に沿って説明してみましょう。
ｋ[S] のふたつの元 f1(a1,a2,...,an) と f2(a1,a2,...,an) について、
和は f1(a1,a2,...,an) + f2(a1,a2,...,an),
積は f1(a1,a2,...,an) ・ f2(a1,a2,...,an).
f1,f2 がどちらも k上の多項式であれば、f1+f2 も f1・f2 も k上の多項式なので、
f1 + f2 = f3, f1・f2 = f4 と置けば
和 = f3(a1,a2,...,an), f3(x1,…,xn) ∈ k[x1,…,xn]、
積 = f4(a1,a2,...,an), f4(x1,…,xn) ∈ k[x1,…,xn] となっています。
和も積も k[S] の元だということです。

あと、ｋ の元 s について s・ｆ１ も k上の多項式なので、
k[S] はスカラー倍についても閉じています。
和、積、スカラー倍について閉じていて、ｋ代数についてのそれ以外の公理は
A の部分集合であることから満たしているので、k[S] は k代数と言えます。

さて、この k代数 k[S] が A の部分k代数かどうかについては、
＞ k代数の単射準同型Φ:k[S]→Aが存在する時、k[S]をAの部分k代数という。
の Φ として、恒等写像を採ればいいだけです。k[S] は A の部分集合ですから。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
独学なので参考書に頼りきりです…！
丁寧な説明で分かりやすかったです
ありがとうございます(^^)

お礼日時：2019/02/13 12:57