正の実数a,b,cに対して、不等式1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)を証明せよ。 また、等号

正の実数a,b,cに対して、不等式1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)を証明せよ。
また、等号が成り立つための条件を求めよ。と言う問題です

相加平均・相乗平均より
a+b+c≧3(3)√(abc) ‥‥①、等号は、a＝b＝cの時。
ab+bc+ca≧3(3)√(abc)＾2 ‥‥②、等号は、ab＝bc＝ca → a＝b＝cの時。
⑶は三乗根と言う意味です
従って、等号成立条件が同じだから、掛けても良い。
①×②より、(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abcだから、証明された。

上記のような回答があるのですがなぜ①、②と置けるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ぽんすけじろう 回答日時： 2017/09/03 00:16

正の実数a,bの2つの正の実数がある時の相加相乗平均は、(a+b)/2≧√(ab) ですね

正の実数a,b,cの3つの正の実数がある時の相加相乗平均は、(a+b+c)/3≧³√(abc) となります
これに両辺を3倍して　a+b+c≧3׳√(abc)　①

正の実数であれば、相加相乗平均が成り立ちます。

正の実数に正の実数をかけても正の実数になるので、
ab,bc,caもそれぞれ正の実数となります。
よって　(ab+bc+ca)/3≧³√(abc)²　これも両辺3倍して
ab+bc+ca≧3׳√(abc)²　②

多少強引な感じもしますが、相加相乗はケースごとに
事例を覚えていかなければならないです。

この回答へのお礼

3つの正の実数があるときの相加相乗平均のやり方があったんですね！

勉強になりました！
ありがとうございます(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))

お礼日時：2017/09/03 11:56

No.2 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/09/03 00:22

①、②が相加相乗平均の関係なのだと思います。

(a + b + c)/3 ≧ (abc)^(1/3), 等号成立は a = b = c のとき

(ab + bc + ca)/3 ≧ (abbcca)^(1/3), 等号成立は ab = bc = ca → a = b = c のとき