k代数 k代数に関する定理の証明で、図のようにΦ（f（x))が定義されていますが、多項式の係数cは、

k代数
k代数に関する定理の証明で、図のようにΦ（f（x))が定義されていますが、多項式の係数cは、kの元であるから、ca1a2のような演算は意味を持たず、単純に多項式f（x)にAの元を代入してはならないと思うのですが、どういうことですか？

質問者からの補足コメント

• 準同型ψに関して、ψ（c）とcを同一視するとのことですが、ψは単射とは限らないのに同一視してもよいのですか？

    補足日時：2019/11/21 14:41

• 

  回答ありがとうございます。
  準同型ψに関して、ψ（c）とcを同一視するとのことですが、ψは単射とは限らないのに同一視してもよいのですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/23 10:27

• 回答ありがとうございます。
  私の読んでいる教科書では、環上の加群が定義される前に「ｋ加群」ではなく、「ｋ代数」という形で定義されていますが、「ｋ加群」は「ｋ代数」に含まれるのですよね？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/23 10:40

No.5 ベストアンサー 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/23 12:22

>「ｋ加群」は「ｋ代数」に含まれるのですよね？

うーん...
むしろ, その反対です.
やはり, あまりよく理解できていないようですね.
ANo.2 で書いたように
>長くなりましたが, k-代数 A とは, k-加群であるような環 A のこと, と理解してください.
k-加群 A といった場合, A は環の構造をもつとは限りません.
それに対して, k-代数 A といった場合, A は k-加群と環, 両方の構造をもちます.

環 k が特に体である場合, k-加群を k-線型空間といいます.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/23 10:53

＞ψは単射とは限らないのに同一視してもよいのですか？

よくはないです。
だから、c と ψ(c) を同一視して「区別を忘れている」と書いたんだけど。
気持ちは解るが、正しくはありません。

No.2 さんが書いているように、この著者の書き方は少しおかしくて、
世間で通常「k代数」と呼ばれているものの定義は、その本とは違います。
その本で「k代数」と言っているものを、普通はψ(k)代数と言っていて、
ψが同型である場合にだけ、その本の定義と世間での定義は一致します。

No.3 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/22 07:57

>準同型ψに関して、ψ（c）とcを同一視するとのことですが、ψは単射とは限らないのに同一視してもよいのですか？

この補足コメントは, 回答番号が指定されていません.
ってことは, 回答者全員（といっても, わずか 2 名ですが）に質問しているのですか？

貴方は自分が訊きたいことを訊くだけで, 回答者からのリクエストには, まったく応えようとしません.
回答を読んで疑問が解決したのか, それとも解決していないのか, そういった肝心なことの把握が難しいです.
そのような態度を続けていると, 誰からも相手にされなくなりますよ.
私が書いた
>さらに, 加法群 A において, スカラー積 ca を ca := h(c, a) = g(c)a と定義することにより, A を k-加群と見なすことができます.
この部分は, 理解できたのでしょうか？

貴方の補足コメントに対する私の返事ですが, 私は「同一視」などという言葉は使っていません.

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/21 07:56

この説明 ↓ を読んで, 十分に納得できましたか？

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

今回の疑問に関しては, 貴方と著者, 両方に落ち度があるといえるでしょう.

貴方の落ち度は, 自分の数学力をはるかに超えた難解な数学書を, 独学用の教材として使っていることです.
独学に固執するなら, もっと平易な, 身の丈に合った教材を選ぶべきです.

著者の落ち度は, k-代数（環上の代数）に関して, 十分な説明をしていないことです.
読者に環上の加群を学ばせる前に, k-代数を扱っているのは, 順序としてはよろしくありません.

k, A を環, 写像 g : k → A を環準同型とします.
ここでいう環とは, 乗法の単位元 1 をもつ可換環のことであり, 環準同型 g は, g(1) = 1 を満たすものとします.
c ∈ k, a ∈ A とするとき, 環 A において g(c) と a の積, すなわち g(c)a が定義できます.
次に, 写像 h : k × A → A を h(c, a) := g(c)a により定義します.
さらに, 加法群 A において, スカラー積 ca を ca := h(c, a) = g(c)a と定義することにより, A を k-加群と見なすことができます.
そう見なせる理由が解らないなら, 補足質問してください.
ちなみに, k-加群 A においては, 1a = a であることが要求されるため, g(1) = 1 という条件は不可欠です.
この k-加群 A は環準同型 g に依存するので, 本来なら k-加群 A_g とでも書くべきなのでしょうが, こういった表記は普通は採用されません.
長くなりましたが, k-代数 A とは, k-加群であるような環 A のこと, と理解してください.
よって, k-代数の準同型とは, k-加群の準同型であるような環準同型のことです.

さて, ここまでの説明により
>多項式の係数cは、kの元であるから、ca1a2のような演算は意味を持たず、
この疑問は, 解決したでしょうか.
体 K 上の線型空間 V においても, c ∈ K と x ∈ V に対して, cx という積が定義されます.
それと同じことです.
V と違って, A には別の積, つまり環としての積も「必ず」定義されているため, 混乱しないようにしてください.

で, ちょっとだけ余談なのですが...
以前, 貴方の質問 ↓ において,
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11353196.html

3. における k-線型写像 h : k → V の存在が, 一意的であることの確認を忘れていました.
任意の x ∈ k に対して, h(x) = xf(1, 1) と定義すれば,
任意の (x, y) ∈ k × k に対して, hg(x, y) = h(xy) = xyf(1, 1) = f(x, y) であるので, f = hg が成り立ちます.
ここで, 写像 j : k → V が f = jg を満たしているとすると,
任意の x ∈ k に対して, jg(x, 1) = hg(x, 1) であるから, j(x) = h(x) が成り立つので, j = h がいえます.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2019/11/21 14:41

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/20 20:33

そうですね。

伝わる相手には伝わる話だけど、確かに不用意な書き方ではあるかな。
A は k代数なので、k→A の準同型が存在しています。それを ψ と書きましょう。
Σ の中の c は、ψ(c) と書き換えたほうが慎重です。
著者は、c と ψ(c) を同一視して区別を忘れているのです。
k→A の準同型が話に複数出てくるのでなければ、そこを同一視しても困らないのですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2019/11/21 14:41