
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね?
あってるというか・・・
やっぱり「関係」という考え方が理解できてない感じですよ.
「a-bは偶数」という同値関係
(同値関係であることを証明できますか?)で
「関係がある」(同値である)ものを一個にまとめるんです.
それが「同値類」です.
#同値の三つの条件がないと,このようにうまくは分解できません.
今の例では,「自然数だけ」を相手にしてるとして
何かの数 a と「関係がある」(同値である)ものは
aが偶数のときは,「偶数」
aが奇数のときは,「奇数」です.
すなわち,例えば
1と同値なものの集合は{1,3,5,7,9,...},奇数全体の集合
2と同値なものの集合は{2,4,6,8,10,...},偶数全体の集合
これらが,「a-bは偶数」という同値関係での「同値類」であり,
これによって自然数の集合の直和分解
{1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}
が構築されます.
「同値関係」というもので「関係がある」ものに全部ひもをつけて
ひもでつながっているものを「一個」のものとみなす
というイメージで,そのそれぞれの「一個のもの」が「同値類」,
その同値類を全部集めたものが数学用語では「類別」、
類別されたものを合併させたのが「直和分解」かな
「a-bは偶数」の例では
{1,3,5,7,9,...},{2,4,6,8,10,...}:それぞれ同値類
{ {1,3,5,7,9,...},{2,4,6,8,10,...}}:類別
{1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}:直和分解
です.
逆に直和分解が与えられれば
二つものa,bが関係があるということを
a,bが同じ「分解の各要素」にあると定義することで
同値関係が定義できます.
No.2
- 回答日時:
んーー・・本当に「関係」とかわかってるのかな
前の質問と同じく情報代数の話でしょ?
そーいう前提条件を外すと意味が不明になるんだけどなぁ・・
>同値関係というのはなんとか分るのですが、同値類、直和分解というのがなかなか理解できません。
多分,分かってないと思うな.
まず「直和分解」ってのは文脈に応じて
定義が違うものなんだ.
だから「前提」がはっきりしていないとよくわからん
ここで「集合Aの直和分解」ってのは
A=A1∪A2∪・・・UAn∪・・・, Ai∩Aj=φ(i≠j)
という形にわけることでしょう?
#たとえば線形代数のベクトル空間の直和分解は
#(本質的にはほとんど同じだけども)こういう定義ではない.
それから「関係」のうち,
推移・反射・対称が成立するものが「同値関係」
同値関係が定めれば「同値類」が定義でき,
同値類が定義できれば「直和分解」が定義できる.
逆に「直和分解」が定義できれば「同値関係」が定義できる
(もちろん,同値類も定義できる).
このことがきちんと証明できますか?
極めて簡単かつ基本です.
#しかし議論に癖があるので習熟は必要.
同値関係っての「等しい」の一般化だから
自明な例は「等しい」ということ
例えば,
自然数a,bに対して,同値関係~を
a~b は a=b であることと定めれば
N={1}∪{2}∪・・・U{n}∪・・・
が直和分解だし,{1}などが「同値類」
もういっこ例を,ヒントだけ.
自然数a,bに対して,関係~を
a~b は 「a-bは偶数」であると定めるとどうなりますか?
このあたりの話題は,数学科でやるような数学のうち,
一番,初心者がはまる「集合論」そのものだから
分からなかったら,きちんと先生に聞きましょう.
この回答へのお礼
お礼日時:2007/10/07 23:16
自分で色々調べたんですけど、いまいちピンとこないんですよね…
「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね?
先生に今度聞いてしっかりと理解しようと思います。ただ宿題提出があるのでここで色々質問してしまいました。
再度回答していただいきありがとうございました<m(__)m>
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