同値関係の問題です。わかる方教えてください。 実数の集合Rにおいて関係Rを、 xRy⇦⇨x-yは整数

同値関係の問題です。わかる方教えてください。

実数の集合Rにおいて関係Rを、
xRy⇦⇨x-yは整数
と定めると、これは同値関係になることを示せ。

知識のある方、よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： 右左 回答日時： 2022/07/28 01:43

まず、同値律はまず反射律をチェックします。

xｰxは0です。0は整数かどうか判断します。整数ですよね。整数という集合にゼロはふくまれていますよね。さて、次は、対称律をチェックします。xｰyが整数zだとします。このx-yをひっくりかえしたy-xをかんがえます。すると、答えは、ーzですよね。このーzが整数の集合に含まれるかどうかをかんがえます。zが整数ならーzも整数にふくまれますよね。めでたく、含まれます。これが自然数ならふくまれません。最後に推移律です。これは、x-yかつy-zならx-zは整数かをチェックします。例えば、x-yが整数mとする。y-zが整数nとする。x-zは、m+nです。mもnも両方整数でそれを足すわけですから、これは整数になります。整数は足し算でとじているとかいいます。例えば、これが割り算なら、分数になってしまって整数の範疇に収まらない。これでめでたく、同値律が確かめられたことになります。結局、０と交換と推移で整数のなかに収まるよねということをたしかめます。これはかんたんでしたが、めんどくさいのもあります。トーラスになるヤツですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！すごくわかりやすかったです。

お礼日時：2022/07/28 18:47

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/28 09:15

まず、あなた自身の知識が問題だ。

「同値関係」の定義↓は知っているのだろうか？
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/ …
これを知っているなら、あてはまるかどうか
公理をひとつひとつ検証するだけ。

反射律：
任意の実数 x について x - x = 0 ∈整数 だから、xRx は成り立つ。

対称律：
xRy すなわち x - y が整数ならば、
y - x = - (x-y) ∈整数 だから、yRx も成り立つ。

推移律：
xRy かつ yRz すなわち x - y と y - z が整数ならば、
x - z = (x-y) + (y-z) ∈整数 だから、xRz も成り立つ。

要するに、整数が -1 倍と加法について閉じていることに尽きる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/28 01:26

定義に合致するかどうかを地道に調べればいい. なにがわからない?