プロが教えるわが家の防犯対策術!

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

A 回答 (4件)

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません


最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。
    • good
    • 7
この回答へのお礼

納得できました。大変有難うございます。

お礼日時:2008/07/01 06:47

最大元の定義で



>Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,

ってある「a≦xが成り立つ」という部分がポイント.
これは
・aとxの間に順序が定義できて
・なおかつ,a≦xが成り立つ
という意味.
順序集合ってのは,
任意の元同士で順序が定義できるとは限らない
任意の元同士で順序が定義できるのは「全順序集合」っていう.
順序集合の定義をよくみてみよう.
a≦b,b≦c => a≦c
とかあるけども,これは
「aとb,bとcが順序つけできたら」という前提がある.
大抵の本には「例」としてでている
「べき集合」で「包含関係を順序とする」やつを考えればわかる.

極大元の方は
>a<xとならない
ってある.「a<x」ってのは
・aとxが順序つけできる
・なおかつ,a<xである
ということで,それが否定されているのだから
・aとxは順序付けできない
・または,a>=xである
ということ.
最大元と違うでしょう?

こんな風に分解すれば
どんな元同士でも順序つけできる「全順序集合」なら
同値なのは明らかなのはわかるでしょう

全順序・順序の違いとかは極めて重要です.
例をいろいろ構築して,きちんと理解しましょう.
ここがわかってないと,このあとの各種の帰納法や
Zornの補題とかZermeloの整列可能定理とかが・・
只でさえ黒魔術の呪文に見えるのに,
ますます破滅的に見えて混乱します.
    • good
    • 2
この回答へのお礼

納得できました。大変有難うございます。

お礼日時:2008/07/01 06:47

ここで言っているところの順序集合とは、


すべての元の間に順序関係が定義されているわけではない、
いわゆる半順序集合ですね。
これに対して、すべての元の間に順序関係が定義されているのは、
全順序集合となります。

全順序集合なら、
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ" ⇔ "aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
は成り立ちますが、
半順序集合では同値になりません。
2つの元の間に、順序関係そのものが定義されていない場合があるからです。

たとえば、「大相撲」は全順序集合と言えます。番付順が順序関係です。
大関と横綱では横綱の方がえらく、横綱が複数いれば東の正横綱がえらい。
これに対して、他の場合は一般には半順序集合です。
たとえば「勤め人」の集合を考えます。
会社Aの中では、普通は「社長」が一番エラい。これが極大値になります。
しかし、「A社の社長」と「B社の社長」とでは、どちらが偉いということは定義されません。
この場合、会社の数だけ偉い人の極値(社長)があることになります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

納得できました。大変有難うございます。

お礼日時:2008/07/01 06:48

> …とは同値だと思います。


>
証明は?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

納得できました。大変有難うございます。

お礼日時:2008/07/01 06:49

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q上界と上限と最大値の違い

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
明確な定義などはあるのでしょうか

Aベストアンサー

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x かつ、 xはAに含まれる(xはAの元である)
 つまり、Aの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、A={x;xは実数 かつ x<1} なんてとき、Aに最大値はありませんね。
 自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・xがAの上限 ⇔ xはAの上界の最小値
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、A={x;xは有理数 かつ x^2<2} なんてとき、Aに上限はありません。
 実数の世界では上界があるなら上限があります。

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x ...続きを読む

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q順序を保つ写像

数学初心者です。
2つの半順序集合(X,<),(Y,<<)の間の写像f:X→Yが順序同型写像とは、(a<b⇒f(a)<<f(b))だと学びました。しかし、fの逆写像f^(-1)が順序を保つ、というのは必要でしょうか?定式化して、
「半順序集合(X,<),(Y,<<)の間の写像f:X→Yについて、fが全単射でfが順序を保つ写像であるがf^(-1)は順序を保たない。」
このような例を教えてください。集合の表現は変えてくださって結構です。

Aベストアンサー

X=Y={(a,b);a,bは実数}とし、実数上の普通の順序≦を使って、
(a,b),(c,d)∈Xに対して(a,b)<(c,d)を「d-b≦c-aかつb≦d」で定義し、
(a,b),(c,d)∈Yに対して(a,b)<<(c,d)を「a≦cかつb≦d」で定義します。
fをXからYへの恒等写像とします。

(X,<)と(Y,<<)がそれぞれ半順序集合になっていることを確認してみて
ください。

任意の(a,b),(c,d)∈Xに対して
(a,b)<(c,d)ならばa≦c+(b-d)≦cより(a,b)<<(c,d)です。
すなわちfは順序を保ちます。

しかし、たとえば(0,0)<<(0,1)ですが1-0≦0-0は成り立たないので
(0,0)<(0,1)ではありません。
すなわちf^(-1)は順序を保ちません。


以下おまけ。
P={(a,b)∈X;(0;0)<(a,b)}
Q={(a,b)∈Y;(0,0)<<(a,b)}
とおくと、(a,b)<(c,d)⇔(c-a,d-b)∈P, (a,b)<<(c,d)⇔(c-a,d-b)∈Q
であり、P⊂QかつP≠Qとなっています。
こういうPやQを使っていくらでも別の例が作れます。
実数の組を整数の組に変えても、組の数を増やしても同様です。

X=Y={(a,b);a,bは実数}とし、実数上の普通の順序≦を使って、
(a,b),(c,d)∈Xに対して(a,b)<(c,d)を「d-b≦c-aかつb≦d」で定義し、
(a,b),(c,d)∈Yに対して(a,b)<<(c,d)を「a≦cかつb≦d」で定義します。
fをXからYへの恒等写像とします。

(X,<)と(Y,<<)がそれぞれ半順序集合になっていることを確認してみて
ください。

任意の(a,b),(c,d)∈Xに対して
(a,b)<(c,d)ならばa≦c+(b-d)≦cより(a,b)<<(c,d)です。
すなわちfは順序を保ちます。

しかし、たとえば(0,0)<<(0,1)ですが1-0≦0-0は成り立たないので
(0,0)<(0,1)では...続きを読む

QZornの補題の意味は何?

Zornの補題の意味についての質問ですが、Zornの補題:順序集合Aの任意の全順序部分集合が有界ならぼ、Aは極大元を持つ、というのが、数学の教科書に載ってますが、意味がさっぱり分かりません。その理由を言えば、例えば、実数の区間Aとして、実数体Rの部分集合である、全順序集合{x|x is a real number, 0<x<2}をとれば、Aの任意の全順序部分集合は有界なので、Zornの補題より、Aには極大元(よって、この場合、最大値)が有る事になりますが、あきらかに、Aには極大元(最大値)はありません。私の考えではこのような矛盾が出てきてしまうので、Zornの補題の意味がわかりません。何か、その意味を勘違いしてるのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

http://okwave.jp/qa2205290.html
下記のリンク先が参考になりませんか。
また松村英之朝倉書店  集合論をみればいいかとも思います。

参考URL:http://okwave.jp/qa2205290.html

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q全順序集合と半順序集合

x=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) ∈R^n に対して
x≦yを Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) (k=1,2,…,n)
によってR^nに関係≦を導入する。
R^nはこの≦に関して半順序集合になっていることを示せ。
また、x≦(にならない)y , y≦(にならない)x となるx,yの例をあげよ。

という順序集合の問題です。
反射的・反対称的・推移的の3つを示せば良いのは分かるのですが、どのように書いて良のか分かりません。
例:推移的を示す
任意のx=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) , z=(z1,…,zn) ∈R^n に対して
Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) かつ
Σ(i=1からkまで)y(i) ≦ Σ(i=1からkまで)z(i) ならば
Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)z(i) 
は成り立つ。
このように、そのまま書けば良いのでしょうか・・・?


それから、最後の例をあげよのところは、全順序集合にはならないための反例になっているのだと思いますが、どうしても思いつきません。
∞を考えるのでしょうか・・・?

そもそも全順序集合は半順序集合が成り立つことが前提みたいに習いましたが、反対称的の
任意のa,b∈Xに対して
aRb,bRa⇒a=b
ここで、aRbとbRaが成り立つことを言ってしまっているので、必ずaRbかbRaになっているような半順序集合は全順序集合という定義も意味がないような気がしてしまいます。


よろしくお願いします。

x=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) ∈R^n に対して
x≦yを Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) (k=1,2,…,n)
によってR^nに関係≦を導入する。
R^nはこの≦に関して半順序集合になっていることを示せ。
また、x≦(にならない)y , y≦(にならない)x となるx,yの例をあげよ。

という順序集合の問題です。
反射的・反対称的・推移的の3つを示せば良いのは分かるのですが、どのように書いて良のか分かりません。
例:推移的を示す
任意のx=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) , z=(z1,…,zn) ∈R^n に対して
Σ(i=1からkま...続きを読む

Aベストアンサー

まだまだ、道は険しそうですが、定義の確認が不充分なようです。再度、

この問題にある、順序 ≦ は、R^nにおいて定義されています。その順序と R^nとをあわせて、{ R^n, ≦ }と書いて、順序集合と呼びます。そしてそれは、半順序集合です。全順序集合ではありません。
ーー以上の事を示すのが問題ですよね。
まずすべき事は、その ≦ の定義にもとづいて、それが、順序に関する3つの性質を持っている事を示さなければなりません。
---ということは、この段階ではまだ、半順序集合とも、全順序集合とも決まっていないわけです。
1)任意のx=(x1,…xn) ∈R^n に対して
Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)x(i) (k=1,2,…,n)
は明らかに成立する、よって
x ≦ x
2)x=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) , z=(z1,…,zn) ∈R^n において x ≦ y かつ  y ≦ z であるとするならば、
---ここから、あの ≦ の定義式を持ちだして証明を始めるのです。「任意の」ということばを使っていませんが、仮定法を使っているので 、文字を使ってx ≦ y 、 y ≦ z という関係のみを使って記述すれば、その関係を満たす任意のものに対する証明になります。
---また、ここからが肝心な所で、人によって書き方が異なるでしょう。ガンバッテ!
……
……
故にx ≦ z
---と締める事が出来れば終わりです。

3)x=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) ∈R^n において x ≦ y かつ y ≦ x ならば
---ここも、「任意の」ということばを使っていません。一つ例を書いてみますと、
x1≦y1かつ y1≦x1であるから、 x1=y1 …(1)
x1+x2 ≦ y1+ y2 かつ y1+y2 ≦ x1+ x2 であるから、x1+x2 = y1+ y2 …(2)
---以下同様と言うわけですが、これも工夫した書き方があるでしょう。
故にx=y
よって「≦」は順序である。---と、ここまで来ればよいのですが。

以上で示したのは、「≦」 が順序であると言う事です。これだけで半順序集合である事は証明されています。半順序集合であるが、それは全順序集合ではない事を示せ、というのが、反例を示せと言うことです。この順序の定義では大小を示す事が出来ない例を一つ示せば、任意のx,yに順序がある「全順序集合」ではないことが、証明されるのです。

以上。一寸おせっかいかなと思いつつ書いてみました。

まだまだ、道は険しそうですが、定義の確認が不充分なようです。再度、

この問題にある、順序 ≦ は、R^nにおいて定義されています。その順序と R^nとをあわせて、{ R^n, ≦ }と書いて、順序集合と呼びます。そしてそれは、半順序集合です。全順序集合ではありません。
ーー以上の事を示すのが問題ですよね。
まずすべき事は、その ≦ の定義にもとづいて、それが、順序に関する3つの性質を持っている事を示さなければなりません。
---ということは、この段階ではまだ、半順序集合とも、全順序集合とも...続きを読む

Q半順序集合の問題

集合Sの冪集合φ(s)上の2項関係⊆が半順序関係であることを示せ。また、全順序関係でないことを
S={1,2,3}の場合で反例を挙げて示せ。が分からないです。

含まれる項の数で比較できないから半順序? 分からないです。
無知な僕にも分かるように解説していただけると嬉しいです

Aベストアンサー

判順序 という言葉の定義をしっかりと確認するればすぐに解ける問題です。
つまり、
任意の集合X,Y,Z∈Φ(S)に対して
X ⊆ X
X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X ⇒ X = Y
X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z
を示すだけです。どの程度細かく証明(説明)するかは、あなたの授業(勉強)の程度によりますが。







S = {1,2,3}
なら、{1,2},{1,3}が⊇の意味で比較不能ですよね。これも、定義に従うだけで解けます。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング