極大元も極小元も存在しないような集合ってどんなのがありますか?

極大元も極小元も存在しないような集合ってどんなのがありますか?

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/11/18 18:41

前提条件（順序集合、無限集合など）が書かれていないので見当違いかもしれませんが、

開集合、例えば(1,2)が簡単な例かな

閉集合[1,2]ならば極大元２は集合に含まれますが、開集合(1,2)には２は含まれませんよ。極小元１についても同様。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/18 16:35

そもそも「順序」が入ってなければ「極大元」も「極小元」も存在しない.

あるいは, (半順序集合の) 部分集合として極大元 (や極小元) の存在が保証されるのは「(空でない) 有限集合」の場合に限定される. つまり, 無限集合で極大元 (や極小元) が存在するとは限らない. 実際, 自然な順序に関して実数の集合は極大元も極小元も持たないし, あるいは「非負実数の集合」だと極小元は存在するけど極大元は存在しない.

もちろん, 「無限集合だけど極大元も極小元も持つ」ってケースもあるよ.

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/11/18 13:39

実数の部分集合としての整数の集合。

極大元をAとすると、A+1は整数の集合の要素だから、A<A+1となり矛盾。
極大元も同様に、A-1は整数の集合の要素だから、A-1<Aとなり矛盾。