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和空間と合併集合というのは、どう違うのですか?

つまり、複素線形空間Vに対する部分空間W_1とW_2を考えたとき、W_1+W_2 と W_1∪W_2 の違いは何なのでしょうか?

教科書に「和空間は合併集合から生成される部分空間にほかならない」という記述があるのですが、
(1)2つの部分空間の合併集合はまた、Vの部分空間になる
(2)Vの部分集合V'がVの部分空間となっているとき、V'から生成される部分空間はV'にほかならない

という(1)と(2)から、W_1+W_2とW_1∪W_2は同じものだという考えに至ってしまったのですが・・・。

(1)か(2)のどちらかが間違っているのか、或いは両方とも正しいが、穴があるのか、ご指摘下さい。


また、これに関連してですが、次元定理(で宜しいのでしょうか)と呼ばれる以下の公式

dimW_1 + dimW_2 = dim(W_1 + W_2) + dim(W_1∩W_2)

において、dim(W_1 + W_2) を dim(W_1∪W_2) と置き換えても成り立つのでしょうか。
一応この定理の証明を見る限りでは、W_1∪W_2でもよさそうに思ったのですが、そのあたりで勘違いをしているかもしれません。

A 回答 (2件)

>「和空間は合併集合から生成される部分空間にほかならない」



この文の「生成される」というところが理解のポイントです。

簡単のために、
(x, y, z)で表される3次元空間を考えてみてください。

「x軸」は、1次元の部分空間になります。
((a, 0, 0)で表される)
この空間をW_1とします。

一方、「y軸」も1次元の部分空間になります。
((0, b, 0)で表される)
この空間をW_2とします。

W_1とW_2の和集合(合併集合)とは、
「x軸もしくはy軸」からなる点の集合になります。
しかし、これは線形空間にはなりません。
任意の2点を取った場合、その和で表せないからです。
たとえば、x軸上の(1, 0, 0)と、
y軸上の(0, 2, 0)を加えると、
(1, 2, 0)となりますが、
これは W_1∪W_2 には含まれません。

これから生成される空間は、
「任意の2つの点を取って、それを実数倍か複素数倍して加えた点」
の集まりになります。
この場合、W_1とW_2 から生成される部分空間はxy平面になります。
これが W_1+W_2と表されます。

上記の場合をまとめると、
「W_1∪W_2 は、x軸とy軸をまとめた点の集合であり、十字形になる」
「W_1+W_2 は、x軸とy軸から生成されるxy平面のこと」
であり、二つは明確に違います。

よって、
>(1)2つの部分空間の合併集合はまた、Vの部分空間になる
は成り立ちません。
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この回答へのお礼

有難うございました。分かりやすい例で、良く分かりました。

ということは、W_1∪W_2 はそもそも複素線形空間にならないから「次元」は定義できず、もとの質問に挙げた式のdim(W1+W2)はdim(W_1∪W_2)とは書き換えられないですね。

お礼日時:2006/02/04 21:24

>(1)2つの部分空間の合併集合はまた、Vの部分空間になる



は誤りです。部分空間の合併をとるだけでは部分空間になりません。例えばx1∈V1,x2∈V2⇒x1+x2∈V1+V2ですが、x1+x2∈V1∪V2は一般的に成り立ちません。

和空間と合併集合は全く違います。ところが、『和空間は合併集合から生成される部分空間にほかならない』は正しい命題です。ここでのkey pointは、「生成される」という用語にあります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/04 21:29

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Q直和の意味?

 線形代数を一通り講義で学習したのですが,自分で勉強し直そうとしている学生です。線形部分空間の定理が自分で納得できずにつまずいてしまいました。
 線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積というという定義は何となくイメージできます(共通集合を持たないベクトル同士の和ということですかね?ベクトル空間同士の積と言うのもなんかイメージがつきませんが…)。

 しかし,Eの2つの線形部分空間F1,F2につきF1+F2が直和になるための必要十分条件はF1+F2がどんな元 →xをとっても,→x=→a+→b ,a∈F1,b∈F2と表す方法が唯一通りとなることである(→xはベクトルxの意味です)。といわれると???となってしまうのです。それに唯1通りと言われても,じゃあベクトル空間同士の積が空でない場合は2通りの表現方法があるのかと考えてみましたが自分でうまく立証できません。

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 しかし,Eの2つの線形部分空間F1,F2につきF1+F2が直和になるための必要十分条件はF1+F2がどんな元 →x...続きを読む

Aベストアンサー

>線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積という

「直和」ですね.
線形代数ではまりそうになったら単純な例,
ほとんどは R^n で具体例を考えればよいのです.

例えば,R^3の中で,
{y=z=0}(これはx軸),{x=z=0}(これはy軸)
の直和をとると,これはR^2={(x,y,0)}になります.
そして,R^2の要素はかならずx軸,y軸の成分で「一意に」表せます.
もちろん,x軸とy軸そのものはR^3の部分空間で
共通部分は{0}だけです.
他の例としては,R^3の部分空間として
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自分で「成り立つ例」を納得するまで構築してみましょう.

逆に「直和ではない」例を構築するのもよいでしょう.
例えば,R^3の中で
{y=x,z=0}(xy平面上の45度の直線)
{z=0}(xy平面)
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この直線はxy平面に含まれる
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例えば,
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#面白いのはこの形式の掲示板では記述がつらすぎます.
#R^4くらいで,2次元部分空間同士で,
#共通部分が一次元部分空間になるようなもの
#を計算するとよいでしょう.

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空間を広げて,なおかつ,広がった空間の任意の要素が
もともとの軸の要素の組合せで一意に表現できる
ということで。。。まさに「座標そのもの」の構築の一般化です.
ここで「一般化」にといってるのは
「軸」が一次元である必要はなく,
部分空間でありさえすればいいということです.

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・もともとの空間の要素はパーツの空間の要素の和だから
 もともとの空間がわかったことになった
#もっともこういう議論をするときは
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>線形部分空間の積集合F1∩F2={ゼロベクトル}を満たす時にF1+F2をF1とF2の直積という

「直和」ですね.
線形代数ではまりそうになったら単純な例,
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Q基底であることを示す問題

こんにちは。

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回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

K^3の3つのベクトルの組があるので、その線形独立を言えば十分である。
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この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む


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