以下の問題を教えてください。
--------------------------------------------------------------
X=C(R,R)={R上定義された実数値連続関数}とおく、f,g ∈ Xのとき、
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(f・g)(x)=f( g(x) )
と定めると、Xは環になるか。
※Rは実数全体の集合とします。
-----------------------------------------------------------
加法における単位元と逆元、乗法における単位元がわかりません。
加法の単位元はf(x)+g(x)=f(x)となるようなgを選べばいいので、恒等的に成立するためにはg=0とすればいいのかなと思いましたが、合っているかわかりません。
逆元の方はなんとなく存在しないだろうなくらいの感覚です。
また、乗法の単位元のについては、gがfの逆関数になるような関数を選べばいいと思ったのですが、fが変わればgも変わるので単位元は存在しないのかなと思っています。
不勉強で申し訳ないのですが、教えていただければ幸いです。
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>>No.1
回答ありがとうございます。
環になる条件は、
(1)加法群かつアーベル群
(2)乗法モノイド
(3)+,・に関して分配法則が成り立つ
の3つだと思います。
(1)、(2)は成り立っているように見えるのですが、成り立たないのは(3)だけということでよろしいでしょうか?