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f(x)=(ax+b)^n       ただしa,bは定数
としたら,xで微分して
f(x)´=na(ax+b)^(n-1)
となるのはどうしてですか?
どなたか証明できましたら教えてくださいm(_ _)m
…二項定理使用?

gooドクター

A 回答 (4件)

f(x)=(ax+b)^nの場合を証明します.


【Pr】
f(x+h)={(ax+b)+ah}^n =(ax+b)^n+n(ah)・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)^2・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^n
=f(x)+n(ah)・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)^2・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^n

ゆえに,f(x+h)-f(x)=ah{n・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^(n-1)
すなわち,
{f(x+h)-f(x)}/h=a{n・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^(n-1)}
となり,
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=a{n(ax+b)^(n-1)}である.

左辺は定義よりf'(x)と書けるので,
f'(x)=na(ax+b)^(n-1). 【Q.E.D】

もっと簡単な証明方法もあります.mmkyさんによって
d(t^n)/dt=nt^(n-1)は証明済みなのでそれと,
y=(ax+b)^n,t=ax+bとおいて
合成関数の微分法
dy/dx=(dy/dt)・(dt/dx)
を使えばあっさりですね.

数学者はこれではきっと満足しないので厳密なε-δ論法を使って証明するのでしょうね.
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この回答へのお礼

ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時:2003/11/18 22:28

帰納法で下式(1)を証明します。



((ax+b)^n)´=na(ax+b)^(n-1) ---(1)

n=1のとき、
((ax+b)^1)´=(ax+b)´=a=1*a*(ax+b)^(1-1) ---(2)
したがって、式(1)が成立する。

n=kのとき、式(1)が成立すると仮定すると、
次式(3)が仮定できる。
((ax+b)^k)´=k*a*(ax+b)^(k-1) ---(3)

すると、n=k+1のとき、
((ax+b)^(k+1))´
=((ax+b)^k*(ax+b))´
=((ax+b)^k)´*(ax+b)+(ax+b)^k*(ax+b)´---積の微分公式より
=k*a*(ax+b)^(k-1)*(ax+b)+(ax+b)^k*a---仮定式(3)、式(2)より
=(k+1)*a*(ax+b)^k
=(k+1)*a*(ax+b)^((k+1)-1).---(4)
したがって、式(4)より、n=k+1で式(1)が成立する。

以上より、n>=1について、式(1)が成立する。
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Rossanaさんの正しい解答がありますので、訂正とお詫びまで


式の記述にミスがありましたので誤解を与えましたね。ごめん。
「lim[h→0]{f(ax+b+h)-f(ax+b)}/h=an(ax+b)^n-1 」
は式の記述ミスがありました。
hはxの変分ですから
lim[h→0]{f{a(x+h)+b)-f(ax+b)}/h=
=lim[h→0]{f{ax+b+ah)-f(ax+b)}/h=an(ax+b)^n-1
が正しい式ですね. ah が正しい記述です。
hがa倍になっていますので前にaがでるのですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時:2003/11/18 22:27

参考程度に


まず、f(x)=x^n を考えましょう。
f(x+h)=(x+h)^n =x^n+nx^n-1*h+n(n-1)x^n-2*h^2/2!+・・+h^n
f(x+h)-f(x)=h{nx^n-1+n(n-1)x^n-2*h/2!+・・+h^n-1}
導関数の定義から
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=nx^n-1

題は、f(x)=(ax+b)^n なので,
lim[h→0]{f(ax+b+h)-f(ax+b)}/h=an(ax+b)^n-1
ということでしょうね。

この回答への補足

参考の数式は理解できたんですけど,
下の「………ということでしょうね」の部分の,
途中式はどのようになるんですか?代入だけで済みますか?
済むんでしたらどこに代入すればよいのでしょうか…(;_;)?
xに代入するとn(ax+b)^n-1 になってしまう…。

補足日時:2003/11/18 00:55
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