
教科書に書いている証明のことについて質問です
f(x)がx=aにおいて微分可能ならばf(x)はx=aにおいて連続である
証明
f(x)がx=aで微分可能ならばf’(a)が存在するからlim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)=lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←(xがaに近づく)
=0*f'(a)=0
よってlimf(x)←(xがaに近づく)=f(a)となりX=aで連続である。
上記のでだしのlim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)=lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←(xがaに近づく)はなぜこのようなるのですか?何を言いたいのか分かりません。lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)なぜこの式からはじめたのか分かりません、誰か詳しく教えてください。
なぜ0になるのですか?お願いします。初心者
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
連続とは?limf(x)(x→a)=f(a)であること。
これはlim{f(x)-f(a)}(x→a)=0と同値。これが「lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)なぜこの式からはじめたのか」の理由。この極限が0になる事を示せば良い。
x=aで微分可能とはf'(a)=lim{f(x)-f(a)/(x-a)(x→a)が存在し有限確定である事。この時aの近傍ではx-aは有限の値なので(x-a)f'(a)も存在し、有限確定の値をとるので、「lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)=lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←(xがaに近づく)
=0*f'(a)=0」という計算が可能。最後の部分、lim(x-a)(x→a9=0だからこうなることに注意。
No.3
- 回答日時:
教科書の証明を理解しようとする前に,自分で証明してみようとすると,証明できなくても教科書のが理解しやすくなりますよ。
証明したいことを言い換えると(lim はすべて x→a)
lim (f(x)-f(a))/(x-a)=k(有限の値)⇒ lim f(x)=f(a)(すなわち lim (f(x)-f(a)=0)
ここから証明
f(x)-f(a)=(f(x)-f(a))/(x-a)×(x-a)
lim (f(x)-f(a))=lim [(f(x)-f(a))/(x-a)×(x-a)]=[lim (f(x)-f(a))/(x-a)]×[lim (x-a)]=k×0=0
証明終わり
別解(背理法)
lim f(x)≠f(a) とすると lim (f(x)-f(a))/(x-a) が (0でない)/0 となり(不定形でないので)極限が存在しない。

No.1
- 回答日時:
順序としてはこういうことです。
1)f(x) が x = a で連続であるという定義は?
これと、 f(x) - f(a) (x → a)との関係は?
※この答えが、lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)で始める理由
2)f(x) の x = a における導関数の定義は?
※これを変形すると、lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく)=lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←(xがaに近づく)
というのは、多分、写し間違いで、正しくは、
(f(x) - f(a)) = (x - a)f'(a) (x → a)
3) f'(a) が存在する、すなわち有限な定数であることから、f(x) - f(a) (x → a) が、計算できて、これと 1)を比べると、問題は証明できます。
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