f(x)=xe^-2xの極大値

f(x)=xe^-2xの極大値を求める問題で答えが1/2eなのですが途中式が分かりません。教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/21 11:50

増減表を作ってグラフを描けば最大値が求まると思います。

増減表の作り方はどの教科書でも関数の極大値・極小値の所に載っていますし、例題も載っているはずです。授業でもやってるはずですので、復習して見てください。
f(x)=x e^(-2x)
f'(x)=1*e^(-2x)+x(-2)e^(-2x)=(1-2x)e^(-2x)
極値を与えるxは　f'(x)=0より　x=1/2
f"(x)=-2e^(-2x)+(1-2x)(-2)e^(-2x)=4(x-1)e^(-2x)
変曲点はf"(x)=0より　x=1
極値を調べると x=1/2で　f"(1/2)=-2/e<0 なので上に凸
x=1/2で極大値f(1/2)=(1/2)/e=1/(2e)をとる。
x<1/2でf'(x)>0 なのでf(x)は単調増加。
x>1/2でf'(x)<0 なのでf(x)は単調減少。
従ってx=1/2における極大値f(1/2)=1/(2e)が最大値となる。
f(0)=0,
x<0でf(x)<0,f"(x)<0より上に凸,x→-∞でf(x)→-∞
x>0でf(x)>0,0<x<1でf"(x)<0で上に凸、x>1でf"(x)>0で下に凸
　x→∞でf(x)→+0(y=0が漸近線)
増減表を書いて、それからグラフの概形は自身で描いてみて下さい。

（参考）グラフを添付します。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/01/21 11:35

f(x)=xe^-2x

f'(x)=e^-2x+x(-2)e^-2x=(1-2x)e^-2x
f'(x)=0のとき
x=1/2
f(1/2)=1/2e