【至急】この合成関数の求め方教えてください！！ f(x)=x2-x+1 g(x)=​x<3なら​​2

【至急】この合成関数の求め方教えてください！！



f(x)=x2-x+1

g(x)=​x<3なら​​2x、x≧3なら​-2x+1 とする。

（ア） g(g(x))
（イ） f(g(x))
（ウ） g(f(x))
（エ） g(f(g(x)))

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/10 18:28

これ、前に考え方を教えたよね？

削除されたみたいだけど。

（ア）
y = g(x) とおきます。
そうすると、関数の定義から、単に変数の記号を変えただけなので
g(y) = 2y （y<3 のとき）
g(y) = -2y + 1 （y≧3 のとき）
となります。

これで場合分けして

(a) x < 3 のとき g(x) = 2x

(a-1) y<3 のとき g(y) = 2y であり
　y = g(x) = 2x < 3 なので x < 3/2 であり、これは x<3 を満たし、
　g(g(x)) = g(y) = 2y = 2g(x) = 4x

(a-2) y≧3 のとき g(y) = -2y + 1 であり
　y = g(x) = 2x ≧ 3 なので 3/2 ≦ x であり、x < 3 の条件下でこれを満たすのは 3/2 ≦ x < 3 であり、このとき
　g(g(x)) = g(y) = -2y + 1 = -2g(x) + 1 = -4x + 1

(b) x ≧ 3 のとき g(x) = -2x + 1

(b-1) y<3 のとき g(y) = 2y であり
　y = g(x) = -2x + 1 < 3 なので -1 < x であり、x ≧ 3 の条件下でこれを満たすのは x ≧ 3 ということであり、このとき
　g(g(x)) = g(y) = 2y = 2g(x) = 2(-2x + 1) = -4x + 2

(b-2) y≧3 のとき g(y) = -2y + 1 であり
　y = g(x) = -2x + 1 ≧ 3 なので x ≦ -1 であり、x ≧ 3 の条件下でこれを満たすものはない。

以上より
　x < 3/2 のとき g(g(x)) = 4x
　3/2 ≦ x < 3 のとき g(g(x)) = -4x + 1
　3 ≦ x のとき g(g(x)) = -4x + 2

（イ）以降も同様。


（イ）
y = g(x) とおきます。
そうすると、関数の定義から、単に変数の記号を変えただけなので
f(y) = y^2 - y + 1
となります。

これで場合分けして

(a) x < 3 のとき g(x) = 2x
そのとき
　y = g(x) = 2x
従って
　f(g(x)) = f(y) = y^2 - y + 1 = (2x)^2 - 2x + 1
　　　= 4x^2 - 2x + 1

(b) x ≧ 3 のとき g(x) = -2x + 1

そのとき
　y = g(x) = -2x + 1
従って
　f(g(x)) = f(y) = y^2 - y + 1 = (-2x + 1)^2 - (-2x + 1) + 1
　　　= 4x^2 - 4x + 1 + 2x - 1 - 1
　　　= 4x^2 - 2x + 1

以上より、x の値に係わらず
　f(g(x)) = 4x^2 - 2x + 1
　　　

（ウ）
y = f(x) とおきます。

(a) y < 3 のとき
　g(f(x)) = g(y) = 2y = 2f(x) = 2x^2 - 2x + 2

このとき
　y = f(x) = x^2 - x + 1 < 3
より
　x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) < 0
従って
　-1 < x < 2

(b) y ≧ 3 のとき
　g(f(x)) = g(y) = -2y + 1 = -2f(x) + 1 = -2(x^2 - x + 1) + 1
　　　= -2x^2 + 2x - 1

このとき
　y = f(x) = x^2 - x + 1 ≧ 3
より
　x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) ≧ 0
従って
　x ≦ -1 または 2 ≦ x

以上より
　-1 < x < 2 のとき g(f(x)) = 2x^2 - 2x + 2
　x ≦ -1 または 2 ≦ x のとき g(f(x)) = -2x^2 + 2x - 1


（エ）（イ）の結果を使って、
　z = f(g(x)) = 4x^2 - 2x + 1

(a) z = f(g(x)) = 4x^2 - 2x + 1 < 3 のとき
つまり
　4x^2 - 2x - 2 < 0
→　2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) < 0
よって
　-1/2 < x < 1
のとき
　g(z) = 2z = 2(4x^2 - 2x + 1) = 8x^2 - 4x + 2

(b) z = f(g(x)) = 4x^2 - 2x + 1 ≧ 3 のとき
つまり
　4x^2 - 2x - 2 ≧ 0
→　2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) ≧ 0
よって
　x ≦ -1/2 または 1 ≦ x
のとき
　g(z) = -2z + 1 = -2(4x^2 - 2x + 1) + 1 = -8x^2 + 4x - 1

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/10 16:39

f(x)=x^2-x+1

x<3ならg(x)=2x
x≧3ならg(x)=1-2x

(ア)
x<3/2なら
g(g(x))=4x
3/2≦x<3なら
g(g(x))=1-4x
3≦xなら
g(g(x))=2-4x

(イ)
f(g(x))=4x^2-2x+1

(ウ)
-1<x<2なら
g(f(x))=2x^2-2x+2
x≦-1またはx≧2なら
g(f(x))=-2x^2+2x-1

(エ)
-1/2<x<1なら
g(f(g(x))=8x^2-4x+2
x≦-1/2またはx≧1なら
g(f(g(x))=-8x^2+4x-1