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f(x)=x^2-2ax+2a+3とする。ただし、aは実数である。
aの値がいくつであっても、y=f(x)のグラフが必ず通る点は(  、  )である。
→必ず通るのは頂点かなと思って求めてみたのですが、答えがちがうみたいで・・・。教えてください。

gooドクター

A 回答 (5件)

2次関数に関わらず、定数を含む関数は定点を通ります。



定点の求め方は
1)定数:aを含む項と含まない項に分けます。
2)定数:aの係数=0、定数項=0として、x,yについて連立方程式を立て解きます。
このときの x,yが定点の座標になります。

いまの問題では、次のようにします。
1) y= x^2- 2ax+ 2a+ 3より (x^2- y + 3)+ a*(-2x+2)= 0
2) -2x+ 2= 0, x^2- y + 3= 0を連立させて解きます。

「x,y以外の定数が現れたときは、その定数について整理してみる」
いまのような問題でも、因数分解をするような問題でも
よく使われる方法なので覚えておくといいと思います。
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この回答へのお礼

すっごく分かりやすかったです!
定数項=0としたら、定点が求まるんですね!
これで同じような問題が出ても、大丈夫☆
丁寧な回答、ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/31 09:00

簡単にいうと、y=x^2-2ax+2a+3 がaの恒等式であるためのxとyの条件を求めよ、という問題。



方法は1つだけではない。

任意のaについて成立するから、条件式にa=1とa=-1を代入してみる。
結果は、y=x^2-2x+5、y=x^2-2x+1 であるから、連立すると、x=1、y=4.

ところが、これは高々 a=1とa=-1に対して成立したに過ぎないから、全てのaについて成立する事を証明しなければならない。

x=1、y=4 を y=x^2-2ax+2a+3 に代入すると、4=1-2a+2a+3 となり全てのaについて成立するから、x=1、y=4 が求める答。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
aを求めるのではなく、x、yの条件を求める問題だったんですね。
ポイントをつけられなくてすみません>_<

お礼日時:2009/10/31 09:11

x=0の所は?

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f(x)=x^2-2ax+2a+3


f(x)=a(-2x+2)+(x^2+3)
aの係数が0のとき、aに依存しなくなります
したがって
(-2x+2)=0
x=1
このときf(1)=4
よって(1,4)を必ず通る
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この回答へのお礼

シンプルで分かりやすかったです!
問題文だけをみて、パニックになってましたが、
解き方というか、考え方さえわかれば、納得できました☆
ありがとうございました!

お礼日時:2009/10/31 09:03

f(x)=x^2-2ax+2a+3


右辺をaについてまとめる
f(x)=(-2x + 2)a + x^2 +3

-2x + 2 = 0のとき
x = 1
このとき
f(x)は常に1^2 + 3 = 4
となる。

答え(1,4)
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この回答へのお礼

すぐ回答を頂いてありがとうございました☆
ポイントをつけられなくて、すみません・・>_<

お礼日時:2009/10/31 09:08

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