三次関数が三重解を持つ条件とは？

f(ｘ)=f´(ｘ)=f´´(ｘ)

と回答に書いてあったのですがなぜでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2006/08/14 14:18

書き方が中途半端ですが、

x=αにおいてf(x)=0が3重解を持つ　⇔　f(α)=f'(α)=f''(α)=0

と言う事でしょうか？x=αで3重解を持つならそのような3次式は

f(x)=(x-α)^3

ですから

f'(x)=3(x-α)^2,　f''(x)=6(x-α)

ですのでf(α)=f'(α)=f''(α)=0　は明らかですし、

f''(x)がxの一次式で、f''(α)=0　なので

f''(x)=k(x-α)

f'(x)=k/2*(x-α)^2+C

f(x)=k/6*(x-α)^3+Cx+C'

f(α)=f'(α)=f''(α)=0　より　C=0,C'=0

よって

f(x)=k/6*(x-α)^3

で3重解を持ちますね。

x=α以外のところでは必ずしも
f(x)=f'(x)=f''(x)
が成立すると言うわけではないと思います。

この回答へのお礼

すごく説明不足ですみませんでした。

確かに回答には「f(ｘ)＝f´(ｘ)＝f(ｘ)＝０を満たすxが存在することが必要十分条件である。」
とあったので納得しました。

回答ありがとうございます！

お礼日時：2006/08/14 14:43