掛け算も足し算も同じ値

Question

題名のような数、式があれば教えてください。（暇があれば）

たとえば２と２で
２＋２＝４、２×２＝４

１＋ｅ^{x}と１＋ｅ^{-x}で
(１＋ｅ^{x})＋(１＋ｅ^{-x})＝２＋ｅ^{x}＋ｅ^{-x}
(１＋ｅ^{x})(１＋ｅ^{-x})＝１＋ｅ^{x}＋ｅ^{-x}＋１＝２＋ｅ^{x}＋ｅ^{-x}

なんてのを。（この二つしか知らないので）

sokamone · Accepted Answer

付けたしです。すでに出てるとおり、ひとつの数をAとすると、もうひとつの数は、
B=A/(A-1)
で与えられるのですから、これを式に対しても考えれば、
ある式f(x)をとり、もうひとつの式g(x)を、
g(x)=f(x)/(f(x)-1)
で与えれば、

f(x)+g(x)=f(x)+f(x)/(f(x)-1)=f(x)^{2}/(f(x)-1)
=f(x)[f(x)/(f(x)-1)]=f(x)g(x)

となりますね。たとえば、
2cos^2(x)　と　2/(1-tan^2(x))
なんかが作れちゃいます＾＾。

sokamone · Answer

おもしろそうな問題だなと思ったので、考えてみました。

足した値と掛けた値が同じふたつの数を、X、Yとおくと、
既出のとおり、X+Y=XY、なので、X＋Y=XY=Zとおくと、
XとYは、２次方程式ｔ^2-Zｔ+Z=0　の2つの解です。
よって、
（X,Y)＝(（Z＋√(Z^2－４Z)）／２、(Z－√(Z^2－４Z)）／２)
複素数の範囲ではこれですべてです。もちろん、Zは複素数です。
Z＝０のとき、(X,Y)＝(０，０)
Z＝４のとき、(X,Y)＝(２，２)
Z＝-1/6のとき、(X,Y)＝(-1/2, 1/3)
などなど。つまり、どんな複素数も、ある(唯一の)2つの複素数の和であり、積でもある、ということになりますね。

質問にある１＋ｅ^{x}と１＋ｅ^{-x}の一般化なら、
単位元をもつ任意の環において、uを単元としたとき、
( 1+u, 1+u^{-1} )
は足しても掛けても、2+u+u^{-1}になる。
( 1-u, 1-u^{-1} )もOK。e^{x}は、実数上定義された実数値関数全体のなす環の単元です。複素数でもいいけど。あとは、行列環とかありますけど。けど、この1+uという形以外のがあるとおもしろいですね。もうちょっと考えてみます。

shige_70 · Answer

#5さん、
『一般に、A×B＝CならC÷B＝A』 ではありません。
これが成立するのはB≠0の時だけです。

さて、質問の方ですが

a,b∈Ｃ,≠0 の場合、a+b=ab を変形して 1/b+1/a=1 ですから、答えは不可算無限個ありますね。

群論的発想で考えるともっと面白いことが分かるかも知れませんね。意外と奥が深かったりして。。。どなたか調べてみませんか?

fushigichan · Answer

ONEONEさん、こんばんは。
面白そうな問題ですね。

掛け算と足し算が同じなので、そのような２数を
A,Bとすると

ＡＢ＝Ａ＋Ｂ
ＡＢ－Ａ－Ｂ＋１＝１
（Ａ－１）（Ｂ－１）＝１

ここで、Ａ－１≠０、Ｂ－１≠０とすると
Ｂ－１＝１／（Ａ－１）
Ｂ＝１＋１／（Ａ－１）＝（Ａ－１＋１）／（Ａ－１）
＝Ａ／（Ａ－１）

のような２数を出せばいいのですね。
たとえばＡ＝２のときはＢ＝２
（これがONEONEさんの例の数値）

Ａ＝３のときがＢ＝３／２

Ａ＝４のときがＢ＝４／３

・・・となって、解はいくらでもあることになりますね。

Ａ＝０のときはＢ＝０となりますが、もちろんこれもいいのです。

lovefumiya · Answer

回答ではありませんが
#5さん

掛け算と割り算間違ってません？

＞1×0は不能になります。また、0×1については0になります。 

掛け算の交換法が成立する事実を否定していますね。

urapro · Answer

回答ではありませんが、#1さんへ
0×0＝0ではありません。逆算してみてください。一般に、
A×B＝CならC÷B＝Aです。そしてA＝B＝0であるならCは不定になります。同様に
1×0は不能になります。また、0×1については0になります。
質問者の方、申し訳ありませんでした。

moteco · Answer

A+B=ABを満たすAとBなので、
A=B/(B-1)となります。

よって、
xとx/(x-1)が答えになります(x≠1)。

x=0   : 0と0
x=1.1 : 1.1と11
x=1.2 : 1.2と6
...
x=2   : 2と2
x=3   : 3と3/2
...
などなどです。

yuusukekyouju · Answer

3+1.5=3×1.5
4+(4/3)＝4×(4/3）
5+1.25＝5×1.25

一般的にｎを２以上の整数としたとき
ｎとｎ/（ｎ-1）

-1+（1/2）＝－1×（1/2）
-2+（2/3）＝－2×（2/3）
-3+（3/4）＝－3×（3/4）
一般的にｎを自然数としたとき
-ｎとｎ/（ｎ+1）

2つの数をA、Bとおいたとき
A+B=A×Bということは
(A-1)(B-1)＝1が成り立つ数であればよいので
いくらでもあります。

noname#13536 · Answer

-1/2と1/3・・・答えは-1/6です。

そう言う問題ありますよね。
何か解き方があると思いますが・・・

TK0318 · Answer

単純なので

０＋０＝０
０×０＝０

掛け算も足し算も同じ値

付けたしです。

おもしろそうな問題だなと思ったので、考えてみました。

#5さん、

ONEONEさん、こんばんは。

回答ではありませんが

回答ではありませんが、#1さんへ

A+B=ABを満たすAとBなので、

3+1.5=3×1.5

-1/2と1/3・・・答えは-1/6です。

単純なので

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