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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
露骨な誘導に従って、牛馬の如く計算するだけです。
(1)
f(0) は、与式に x=0 を代入して、f(0) = 0^2 - ∫[0→0]なんかdt = 0.
与式を f(x) = x^2 - ∫[0→x](x-t)f'(t)dt
= x^2 - x∫[0→x]f'(t)dt +∫[0→x]tf'(t)dt
= x^2 - x{ f(x) - f(0) } + [ tf(t) ]_(0→x) - ∫[0→x]f(t)dt ; 部分積分
= x^2 - xf(x) + 0x + xf(x) - 0f(0) - ∫[0→x]f(t)dt
= x^2 - ∫[0→x]f(t)dt
と計算してから、微分すると、f'(x) = 2x - f(x).
(2)
(1)の式を変形して、2x = f(x) + f'(x).
両辺に e^x を掛けて、2xe^x = (e^x)f(x) + (e^x)f'(x) = (e^x f(x))'.
(3)
(2)の式を 0→x で積分して、
(e^x)f(x) - (e^0)f(0) = 2∫xe^x = 2[ xe^x ] - 2∫(e^x)dx = 2xe^x - 2(e^x - 1)
より f(x) = (e^-x){2xe^x - 2(e^x - 1)} = 2x - 2 + 2e^-x.
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