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数学 定積分の問題です。

関数f(x)が任意の実数xに対して、

f(x)=x^2-∮[0→x] (x-t)f'(t) dt を満たす。

(1) f(0)の値を求め、さらにf'(x)=2x-f(x)が成り立つことを示せ。
(2) (e^x f(x))'=2xe^x を示せ。
(3)f(x)を求めよ。

解答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • 変換するときにこれしかなかったので普通の積分です。
    申し訳ありません。
    自分なりの解答を作ろうとしましたがどうしても出すことができなく助けをお借りしたいです。

      補足日時:2019/02/09 00:35
gooドクター

A 回答 (2件)

露骨な誘導に従って、牛馬の如く計算するだけです。



(1)
f(0) は、与式に x=0 を代入して、f(0) = 0^2 - ∫[0→0]なんかdt = 0.
与式を f(x) = x^2 - ∫[0→x](x-t)f'(t)dt
= x^2 - x∫[0→x]f'(t)dt +∫[0→x]tf'(t)dt
= x^2 - x{ f(x) - f(0) } + [ tf(t) ]_(0→x) - ∫[0→x]f(t)dt ; 部分積分
= x^2 - xf(x) + 0x + xf(x) - 0f(0) - ∫[0→x]f(t)dt
= x^2 - ∫[0→x]f(t)dt
と計算してから、微分すると、f'(x) = 2x - f(x).

(2)
(1)の式を変形して、2x = f(x) + f'(x).
両辺に e^x を掛けて、2xe^x = (e^x)f(x) + (e^x)f'(x) = (e^x f(x))'.

(3)
(2)の式を 0→x で積分して、
(e^x)f(x) - (e^0)f(0) = 2∫xe^x = 2[ xe^x ] - 2∫(e^x)dx = 2xe^x - 2(e^x - 1)
より f(x) = (e^-x){2xe^x - 2(e^x - 1)} = 2x - 2 + 2e^-x.
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この回答へのお礼

なるほど、問題文に沿ってそのまま解けば綺麗に出るということですね。
もう一度解いてみます!
ありがとうございました!

お礼日時:2019/02/09 03:09

周回積分?



自分では解く気がない?
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この回答へのお礼

変換した時に∮しかなかったので、申し訳ありません。普通の積分です。
自分なりの解答を作ろうとしましたがどうしてもできなかったので助けをお借りしたいです。

お礼日時:2019/02/09 00:44

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