問 任意の実数a,bと実数関数f(x)に対して ∮(a→b) |f(x)|dx=0ならばf(x)=0

問
任意の実数a,bと実数関数f(x)に対して
∮(a→b) |f(x)|dx=0ならばf(x)=0 を示せ

( f(x)の絶対値をaからbまで積分 )
について回答してみて下さい。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/17 04:36

A=∫(a→b) |f(x)|dx

とする。すると
　∫(x→b) |f(x)|dx≧0 (a≦x≦b)
は自明。

もし
　∫(a→x) |f(t)|dt>0 (a<x≦b)
となる、xが存在したとする。すると
　∫(a→b) |f(t)|dt=∫(a→x) |f(t)|dt+∫(x→b) |f(t)|dt
　　　≧∫(a→x) |f(t)|dt>0
となり、仮定に矛盾。したがって、このような xはなく、任意のx
について
　∫(a→x) |f(t)|dt=0 (a<x≦b)
となる。

あとは、#1さんのように微分すれば、f(x)=0 をえる。

この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時：2022/07/17 04:37

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/17 04:26

f(x) としてディリクレ関数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3 …
をもってくると任意の実数 a, b に対して (ルベーグ積分の意味で)
∫(a→b) |f(x)| dx = 0
だけど x が有理数なら f(x) = 1

というのは「なし」なんだろうなぁ.

この回答へのお礼

なるほど

お礼日時：2022/07/17 04:28

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/17 02:30

p(t) = ∫(a→t) |f(x)| dx = 0 の導関数は dp/dt = |f(t)|= 0 という筋書きで。

この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時：2022/07/17 04:28