A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
とりあえず、補題として
a≦x≦b の範囲で g(x)≧0 であれば ∫[a,b]g(x)dx≧0 であること。
これは、リーマン積分の定義から
g(x)≧0 ならば 下方和≧0 なので従う。
これを使って、a≦t≦b の範囲で F(t) = ∫[a,t]|f(x)|dx と置くと、
|f(x)|≧0 より ∫[a,t]|f(x)|dx≧0, ∫[t,b]|f(x)|dx≧0 であって
仮定より ∫[a,t]|f(x)|dx + ∫[t,b]|f(x)|dx = 0 だから
F(t) = ∫[a,t]|f(x)|dx = 0.
これを微分すると |f(t)| = dF(t)/dt = 0 となるから、
a≦x≦b の範囲で |f(x)| = 0. すなわち f(x) = 0.
No.1
- 回答日時:
|f(x)|=α>0となるようなx=pが存在して、a≦p≦bだとします。
このときfは連続ですから、十分小さな正の数δをとれば、p-δ<x<p+δを満たす範囲で
α-ε<f(x)<α+εとなります。
εとしてα/2をとれば、
aからbまでfの絶対値を積分した値は、α/2×δ以上で正の値になります。
これは矛盾 よって
α=0
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