大学数学 解析学 区間［a,b］で有界な関数f(x)が［a,b)で連続であるとき、f(x)は［a,b

大学数学 解析学

区間［a,b］で有界な関数f(x)が［a,b)で連続であるとき、f(x)は［a,b］で積分可能であること示せ。

この問題の解答を教えてください。
f(x)が［a,b］で連続であるとき、f(x)は［a,b］で積分可能であることは用いていいです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/23 20:55

a ≦ c < b の範囲に実数 c を取ります。

∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx ですが...

f(x) は閉区間 [a,c] で連続なので、
∫[a,c]f(x)dx は収束します。

f(x) は [c,b] で有界なので、
c ≦ x ≦ b で |f(x)| ≦ M となる定数があります。
0 ≦ |∫[c,b]f(x)dx| ≦ ∫[c,b]|f(x)|dx ≦ M(b-c) より、
c→b-0 のときハサミウチの定理から ∫[c,b]f(x)dx→0 です。

以上より、∫[a,b]f(x)dx は収束します。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/23 11:05

2つの関数 f(x), g(x) が区間 [a, b] において常に 0 ≦ f(x) ≦ g(x) であるとき

0 ≦ ∫ f(x) dx ≦ ∫ g(x) dx
(積分はいずれも区間 [a, b] の定積分)
というのは使っていい?