540の約数の総和が(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5)になる理由(掛け算と足し算

540の約数の総和が(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5)になる理由(掛け算と足し算の理由)を教えて下さい

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/21 21:44

540を素因数分解すると

540=(2^2)(3^3)(5)

だから
その約数は

{(2^k)(3^m)(5^n)}_{k=0～2,m=0～3,n=0～1}
の
3*4*2=24個ある

その総和は

Σ_{k=0～2}Σ_{m=0～3}Σ_{n=0～1}(2^k)(3^m)(5^n)
=Σ_{k=0～2}(2^k)Σ_{m=0～3}(3^m)Σ_{n=0～1}(5^n)
=(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/21 14:01

(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) の括弧を展開すると、

(2^a)(3^b)(5^c) a=0,1,2 b=0,1,2,3 c=0,1 の形をした項が
各一回づつ現れます。 540=(2^2)(3^3)(5^1) の約数は、
この形をしていますね？

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/01/21 13:44

約数の総和公式を使う。

公式の証明を自分で検索する。