プロが教えるわが家の防犯対策術!

この年齢になって、ちょっと恥ずかしいのですが
素因数分解について質問があります。

なぜ素因数分解で「最小公倍数」や
「最大公約数」がわかるのでしょうか?

最大公約数の場合、例えば8と12だと

 2)8 12
  ーーーーーー
 2)4  6
  ------
   2  3

 8=2x2x2
12=2x2x3

となり、どちらの数にも縦軸の2x2が共通だから
4が最大公約数になる、というのはわかるんですけど
なんか、いまいち説明になってないような気もします。

2、12、16で最小公倍数を求めた場合

 2)8 12 16
  ------ーー
 2)4  6  8 
  -------- 
 2)2  3  4
  -------- 
   1  3  2

 8=2x2x2
12=2x2x3
16=2x2x2x2

なぜ2x2x2x1x3x2で答えを出すことが
出来るのかわかりません。

いろいろ考えてはみたんですが・・・(^^:

猿にも理解出来るよう、教えて頂けないでしょうか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

まずは小難しいことを考えずに、初心に返りましょう。



8の約数は、1,2,4,8
12の約数は、1,2,3,4,6,12
ですよね?
それで、これら約数の中に共通に含まれる値で、最大のものを最大公約数と呼んだわけです。

次に、素因数分解の結果を考えてみます。
8の素因数分解は、2*2*2
12の素因数分解は、2*2*3
ですね。
この素因数分解の結果を使って、それぞれの約数を全て表現できるってことに気づくのが第一歩です。
8だったら、
1:整数なら1を約数に持つのは自明
2:2
4:2*2
8:2*2*2

12だったら、
1:
2:2
3:3
4:2*2
6:2*3
12:2*2*3

とこのように、素因数分解の結果を適当に組み合わせることで、約数を作ることができます。
それで、各約数のうち、最大のものは何か?と考えると、共通する素因数を全て掛け合わせたものになるのです。


次に、最小公倍数です。
こちらで大切なポイントは、
8の素因数分解である2*2*2に何かを掛けたものは、絶対に8の倍数になるという点です。
つまり
(2*2*2)*3=24→8の倍数ですよね。
(2*2*2)*13=104→これもやっぱり8の倍数ですよね。

ということで、問題に帰ってみて、なぜ8,12,16の最小公倍数が2*2*2*2*3で表現できるかということですが、多分もう、説明しなくてもおわかりだと思います。
最初の2*2*2の部分で8の倍数であることが保証されます。
それで、さらに2を掛けて、2*2*2*2とすることで、16の倍数でもあることが保証されます。
12の倍数になるということについては、後半の2*2*3の部分で保証されるわけです。

8,12,16の全ての倍数になることが保証されて、なおかつ最小になるというものが、2*2*2*2*3なのです。

こんな感じでどうでしょう?
    • good
    • 40
この回答へのお礼

返信、ありがとうございます。

つきつめて考えていくと
「一体、ある数を素数の積に分解するって、どういう意味があるんだろう」と思う訳ですが、
なるほど、とりあえずは「素数の積に分解された数を使って全ての約数を表現するもの」と
考えると理解しやすいですね。
「共通」で「最大」の「約数」ってことがよくわかります。

また、最小公倍数の「保障」という考えも、とても参考になります。
つまり、
 8=2x2  x2
12=2x2    x3
8にx3を入れるのは8の倍数であると共に、12の倍数であることを保障するためで
12にx2を入れるのは12の倍数であると共に、8の倍数であることを保障するため。
そして、その保障はtarameさんの言うように
最小値で行われているため、最小公倍数が出てくる、という訳ですか。

なるほど、ようやく理解出来ました。
ありがとうございました。

お礼日時:2004/09/11 15:22

<最大公約数>



別に素因数分解でなくてもいいんですよ。
素数でなくてもいいんですよ。
因数分解でいいじゃないですか。

最大公約数の場合、例えば8と12と16だと
いきなり

 4)8 12 16
  ーーーーーーーーー
   2  3  4

どっちも4で割れたから、かつ、これ以上割れないから最大公約数は4。
これでいいんです。

だけど、いきなり大きな数でわるよりも、ちまちま素因数でちょびっとずつ割り算したほうが簡単な場合があるじゃないですか。
そういう人だったら、

 2)8 12 16
  ーーーーーーーーー
 2)4  6  8
  ------ーーー
   2  3  4

と、ちまちまやって、(=素数で割っていって)
もうこれ以上、同じ数で一緒に割れません、と。
要するに、これは式で書くと

 8÷2÷2=2
12÷2÷2=3

このように、どっちも「÷2÷2」しました、と。

割り算同士は、括弧の中に掛け算でまとめることができるので、これは、
「÷2÷2」 → 「÷(2×2)」と同じですよね。
だから、「÷4」と同じ。
これ以上大きな数で、一緒に割れない。
だから、4が最大公約数。



<最小公倍数>

8、12、16で最小公倍数を求めた場合

これも、いきなり行きましょう。

 4)8 12 16
  ------ーー
   2  3  4

まずは、ここまで。
いきなり、÷4でなく、÷2÷2 と、ちまちまやっていいのは、最大公約数の話と同じなので、話は省略。

ここまで来て、
(4×2)と(4×3)と(4×4)の公倍数を求めればよいということになって、ということはお分かりですね?
だから、8と12と16の2と3と4の最小公倍数に、4を掛ければよいということもわかりますね?

じゃあ、(2×3×4)×4が答え?
いえ、違います。

あくまでも、「(2と3と4の最小公倍数)×8」が答え。

ということで、つづきをやります。

2と3と4の公倍数というのは、
・2と3の最小公倍数 2×3=6
・3と4の最小公倍数 3×4=12
・4と2の最小公倍数 4

の中で、一番大きいものです。
だから12になります。
これを因数分解で求めましょうか。

まず、2と3

 1)2  3
  ------
   2  3

どちらも、1以外では共通で割れません。
だから、最小公倍数は2×3そのまんま。

次に、3と4
 1)3  4
  ------
   3  4

どちらも、1以外では共通で割れません。
だから、最小公倍数は3×4そのまんま。

ここまではいいですね。

最後に、4と2
ここが問題ですね。

 2)4  2
  ------
   2  1

両方2で共通に割れましたから、
4×2では最小公倍数としては大きすぎます。
なぜかというと共通因数の2をダブルで掛けているからです。
これを防ぐためには、
(4÷共通因数2=2)と(2÷共通因数2=1)の最小公倍数を求めて、最後に、それに共通因数2をかければいいですね。

(4÷共通因数2=2)と(2÷共通因数2=1)の最小公倍数は、もはや共通因数がないので、当然、
2×1
になります。
ですから、これに共通因数2をかけたものが、4と2の最小公倍数になります。
すなわち
(2×1)×2

ここで再び、
 2)4  2
  ------
   2  1
を見てみましょう。

あれ?
ほら!
ね?
「(2×1)×2」がどこかにありませんか?
・・・もうわかりましたね!

さて、
こうして、2,3,4の最小公倍数は、12であることがわかりました。

ですから、8、12,16の最小公倍数は
12×4=48


さて、総仕上げに入ります。

8と12と16の最小公倍数を求めるには、4つの因数分解をやりました。

 4)8 12 16
  ------ーー
   2  3  4

 1)2  3
  ------
   2  3

 1)3  4
  ------
   3  4


 2)4  2
  ------
   2  1

なんか、4つもやると、たるいですよね。
4つまとめて計算する方法はないんでしょうか・・・
・・・・・ありますね!

 4)8 12 16 ←みんな4で割る
  ------ーー
 2)2  3  4 ←2で割れるものだけわる
  -------- 
   1  3  2

これで、最小公倍数を求めるには十分なんですが、
同じものを素因数分解で、ちまちまやれば、

 2)8 12 16
  ------ーー
 2)4  6  8 
  -------- 
 2)2  3  4
  -------- 
   1  3  2

いかがですか?
    • good
    • 4
この回答へのお礼

丁寧な解説、ありがとうございました。

8=2x2x2、ではなく
8÷2÷2=2、としてとらえるべきだったんですね。

8の最大約数を出すためには
解説して下さった通り、まずは小さな数で割って、その結果を後からかけた方が計算しやすい。
最大約数ということは、OxOの片方は最小になる訳で

2)8
 -----
2)4
 -----
  2

この式だと縦が最大約数、横が最小約数を表現することになる。
素因数分解「8=2x2x2」にどんな意味があるのか、今までわからなかったのですが
8÷2÷2=2として考えることで、
ようやく疑問がとけました。

>の中で、一番大きなものです

ここら辺から
ちょっとわかりにくかったのですが(汗)、
つまり、

2)8 16 12
 --------
2)4  8  6
 --------
  2  4  3

 8=4 x2
16=4 x2 x2
12=4       x3

4x2x2x3で、8と12と16の倍数であることが保障されているのに
8と16でだぶったx2を加えると
4x2x2x3x2となり、最小公倍数ではなくなってしまう。
だから、たぶりを防ぐために
2つの整数に共通な素因数があった場合、割り続ける必要がある訳ですね。

なぜなら、二つの整数に共通な素因数があるということはたぶりがあるから。

ようやく観念的にではなく、理論的に理解出来たような気がします。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2004/09/11 15:34

猿に理解させることは、私には出来ませんが……



素因数分解とは、素数の積に分解することですよね。
例えば 12の素因数分解は
2)12
 --------
2) 6
 --------
   3
だから、12=2×2×3 となります。

ある数の約数は、素因数分解して出てくる素数の積としてあらわすことが出来ます。
公約数は、共通な約数のことであり、その最大値が最大公約数です。
したがって、素因数分解してでてくる共通な素数を全部掛け合わせれば、最大の公約数になるわけです。

前述の素因数分解の計算をいくつかの数で同時に行なえば共通な素数を見つけることが出来る訳です。

また、最小公倍数ですが
素因数分解して出てくる素数のうち共通でないものを、
最大公約数にかけることで、全ての数の倍数になります。
それが公倍数の最小値であることは、必要最低限の素数のみ掛け合わせていることから分ります。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

ご回答、どうもありがとうございました。

>それが公倍数の最小値であることは、必要最低限の>素数のみで掛け合わせていることから
>分かります。

この言葉すごくわかりやすいです。
zou3さん(No.1)のお礼で書いた、
お互いの数を取り入れることへの違和感に対して、観念的に理解する手助けに
なりそうです。
残念ながらまだ理論的な理解を得るまでには達していないんですが・・・
とても助かりました。

ありがとうございました。

お礼日時:2004/09/11 15:16

(1)8と12では


 8=2×2×2
12=2×2  ×3 とずらして書きますと

2×2が両方共にあるので、
8と12を一度に割れる最大の数は2×2の4だから
8と12の最大公約数は4。

(2)8と12では
 8=2×2×2
12=2×2  ×3 これをながめてみますと

8に3をかけて、12には2をかけると

 8×3=2×2×2×3
12×2=2×2×2×3  となります。

8と12の公倍数は、
8には3を、12には2をかけてから
両方に同じ数をかけていかないと公倍数には成りません。
そうすると、8と12の最小公倍数は2×2×2×3。

同様に
(3)
 8=2x2x2
12=2x2    x3
16=2x2x2x2   で
最大公約数は2×2。


 8=2x2x2×2×3
12=2x2x2×2x3
16=2x2x2x2×3 で
最小公倍数は2x2x2x2×3。


ここまでしか説明できませんでした。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

ご説明、どうもありがとうございました。
なるほど、なるほど・・・
つまり8と12の最小公倍数は同じ数に
なる訳だから、

 8=2x2 x2
12=2x2   x3

8にはx3を、12x2を取り入れることによって
同じ数にすればいい、というわけですね。

しかし、お互いに数を取り入れることに
何か不思議な感覚を覚えます。

4=2x2
8=2x2x2

で4にx2を取り入れることには
何ら違和感はないのですが
お互いの数を取り入れることには
都合よく最小公倍数になるもんだなぁ・・
という感覚が残ります。

ですが、理解するために
十分すぎるヒントを得たような気がします。

ありがとうございました。

お礼日時:2004/09/11 15:14

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング