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f(x)=|x-3|+|x-2|+|x-1|の最小値を求めなさい。そのときのxの値を求めなさい。

この問題が解けません

絶対値をそれぞれ場合い分けをすると思ってしたら
(1)x<1
(2)1≦x<2
(3)2≦x<3
(4)3≦x
となったんですけどここからわかりません
そもそもこの場合い分けをが間違ってるのかもしれませんが

わかる人途中式と答えを教えてください

よろしくお願いします

A 回答 (3件)

そもそも「f(x)=|x-a|」が何を意味しているのかというと・・・



「x≧a」の時「x-a≧0」なのだから、|x-a|= x-a ⇒ f(x)= x-a
「x≦a」の時「x-a≦0」なのだから、|x-a|=-(x-a)⇒ f(x)=-(x-a)

となるということ言っているわけですね。

したがって、ここではいくつかの範囲に分けて、それぞれの範囲における最小値を算出し、比較する必要が出てきます。

例えば
x≧3 ⇒ |x-3|=x-3、|x-2|=x-2、|x-1|=x-1
なので
f(x)=(x-3)+(x-2)+(x-1)
として計算すれば良いわけです。
ちなみにこの場合の最小値は、「x≧3」が前提なので、x=3の時の値ということになります。

同様の作業を繰り返し、算出したf(x)の最小値を比較すればできあがりです。

場合分けとしては間違ってないと思いますので、あとは絶対値をどう処理するか、といったところでしょうね。
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数直線で考える。


|x-a| は  x と a の距離だから
x≦1 で、|x-3|,|x-2|,|x-1| は減少で f(x) は減少。
1≦x≦2 で、f(x)=|x-3|+1 ,は減少。
2≦x≦3 で、f(x)=1+|x-1| ,は増加。
3≦x で、|x-3|,|x-2|,|x-1| は増加で f(x) は増加。
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絶対値のはずし方は


a>0のとき|a|=a,a<0のとき|a|=-aです(aが負数の時にはマイナスをつける)。だから
(1) f(x)=-(x-3)-(x-2)-(x-1)=-3x+6 …(整理します)
(2) f(x)=-(x-3)-(x-2)+(x-1)= …
あとは(1)~(4)の範囲でそれぞれ直線のグラフをかいてください。
x>1の範囲のグラフはy=-3x+6です。
最小値はグラフから判断します。
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