sinx/xの微分係数

f(x)=sinx/xのグラフを描写ソフトで書かせてみると
x=0における微分係数が0(f'(0)=0)であるようなのですが
これはどのようにしめせるのでしょうか。
不定形になってしまいます。

No.3 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2008/03/24 01:21

まず、f(x)は偶関数です。

（x→0のとき、f(x)→1なので、f(0)=1と定義します。）
すなわち、
f(-x)=f(x)
です。
両辺を微分すると、
-f'(-x)=f'(x)
x=0とすると、
-f'(0)=f'(0)
2f'(0)=0
∴f'(0)=0
（f(x)が偶関数であるということしか使っていません。
偶関数一般について成り立つ性質のようです。
グラフで見ても、y軸に関して対称なので、f'(0)が0でないとグラフ
が左右どちらかに歪んでしまう。もちろん、f(x)は微分可能という条件
は必要です。）

この回答へのお礼

なるほどすばらしい回答ありがとうございます。

お礼日時：2008/03/24 03:08

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2008/03/24 19:56

高校なら

x<sinx<tanx

この回答への補足

補足日時：2008/03/24 19:56

この回答へのお礼

回答どうも。

で、それがどうつながるのでしょうか？
f(0) = 1ではなくf'(0) = 0となることを証明したいのですよ？

お礼日時：2008/03/31 17:50

No.2 回答者： shr_nrht 回答日時： 2008/03/23 20:34

すいません。

下から二行目の式は,
lim_{x→0}(xcos(x)-sin(x))/x^2=lim_{x→0}-sin(x)/2=0

この回答へのお礼

伝家の宝刀ロピタルの定理がありましたね。
ありがとうございます。

そういえばテイラー展開しても導けそうですね。

高校ＬＶでの解き方はありますでしょうか。

お礼日時：2008/03/23 20:38

No.1 回答者： shr_nrht 回答日時： 2008/03/23 20:30

sin(x)/xを微分すると(xcos(x)-sin(x))/x^2となります。

lim_{x→0}(xcos(x)-sin(x))/x^2をするのですが,このままでは不定形なので,ロピタルの定理を使います。
ちなみにロピタルの定理はlim_{x→0}f(x)/g(x)=lim_{x→0}f'(x)/g'(x)。
'は微分です。
lim_{x→0}(xcos(x)-sin(x))/x^2=lim_{x→0}=lim_{x→0}-sin(x)/2=0
よって,x=0での微分係数が0であることがわかります。