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a,b,cを整数とする。
a^2+b^2=c^2のとき、a,b少なくとも一方は偶数である。
これを示せ。

私の解答は間違っていますか?

「a,b,cを整数とする。 a^2+b^2」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 正しい解答も教えて頂きたいです!

      補足日時:2020/07/03 21:54
gooドクター

A 回答 (3件)

7月2日に 似た様な質問がありました。


参考になるかも。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11743047.html
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正しい解答です。



(証明)
最初にm^2が偶数ならばmも偶数であることを証明する。【2】

対偶は「mが奇数ならばm^2は奇数である」 このとき整数nを用いて、【1】

m=2n+1 両辺2乗して
m^2=4n^2+4n+1
=2(2n^2+2n)+1

nは整数であるから、2n^2+2nは整数である。ゆえにm^2は奇数である。【1】

よって対偶が真であるからもとの命題「m^2が偶数ならばmも偶数である」も真である。

*******************************************
a^2+b^2=c^2・・・①とする。

背理法を用いて、a,bがともに奇数であると仮定すると a^2,b^2がともに奇数であるから
a^2+b^2は偶数である。                         【2】

a^2+b^2=c^2であるから,c^2は偶数である。したがってcも偶数である。【2】

ここで、整数k,l,mを用いて a=2k+1, b=2l+1, c=2m と表す。

a^2+b^2=(2k+1)^2+(2l+1)^2
=4(k^2+l^2+k+l)+2
c^2 =4n^2                             【1】

ここで、左辺は4で割ると2余るが,右辺は4で割り切れる。これは矛盾する。
よって,a,bの少なくとも一方は偶数である。                【1】 (証明終わり)

最初の証明は、特に前問がない場合は書かないといけません。
だからこうしてみると長い証明ですね。


☆ポイント

①対偶を最初に使う。
②背理法はその次
③4で割ると2余るが,右辺は4で割り切れる、という矛盾をうまく導く。

cも偶数か奇数か見分けるのがみそでした。

(余談)質問とは関係ないです

この問題は本当は難易度5中3くらいですがここまで求めると4に跳ね上がります。
10点問題になりますね。証明中の【】はつけるとする点数です。大事なポイントの比重だと思ってください。
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背理法を用いて、aもbも奇数であるとすると矛盾が生じることを閉めそうとしたのはOKですが、解答は間違っています。


どこがまずいかというと、最後の2行だけ。
1行目~6行目までで、
a^2+b^2=c^2のとき、c^2=2(2k^2+2k+2s^2+2s+1) を示せています。
c^2は平方数であるべきですが、右辺を見ると!
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