a,b,cはa^2-3b^2=c^2を満たす整数とするとき、次のことを

a,b,cはa^2-3b^2=c^2を満たす整数とするとき、次のことを証明せよ。
１、a,bの少なくとも一方は偶数である。
２、a,bが共に偶数なら、少なくとも一方は４の倍数である。
３、aが奇数ならbは４の倍数である。

という問題です。
１はa,bを奇数として、2m+1,2n+1とおいて計算したのですが、いまいちどう証明したらよいのか分かりません。
２はどちらも2m,2nとして計算したら、4(m^2-3n^2)=c^2となったのですが、これで何の証明になるのか…。
３もよく分かりません。

勉強不足で申し訳ありません。考え方だけでも教えてください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Kules 回答日時： 2010/08/04 16:31

いいところまできていると思いますが、右辺のことを無視してしまうとちょっと議論ができませんよね。

2m+1,2n+1とおくと、左辺は2でくくれると思います。で、cが奇数の場合c^2も奇数なので明らかに不適となりますよね？ってことはcは偶数です。で、c=2kと置けば
(左辺を2で割ったもの)=2k^2という形になると思いますが、
(左辺を2で割ったもの)は明らかに奇数の形をしていると思います。よって、a,bが共に奇数の場合
cは奇数にも偶数にもなれないので不適。となります。
2、も同じように考えていくと、m^2-3n^2=k^2になると思います(今回もcは偶数しか許されないため、c=2kと置きました)
で、この式をよーく見ると…これは問題で与えられたa,b,cをm,n,kに置き換えただけの式ですね？
ということは１、よりm,nの少なくとも一方は偶数なので、a,bの少なくとも一方は４の倍数です。
３、１よりaが奇数ならbは少なくとも偶数(２の倍数)です。で、a=2m+1、b=2nを入れるて計算すると上と同じように考えてcは奇数になると思うので、c=2k+1と置きます。でさらに計算していくと、
3n^2=(mとkの式)…(＊)
みたいな形になると思います。ここで、mとkはそれぞれ奇数or偶数の2通りあるのでmとkの偶奇の組み合わせは4通りありますが、そのどれを取っても(＊)の右辺は偶数になるはずです。3n^2のうち３は偶数じゃないので、nが偶数であることになり、結局bは4の倍数となります。

３、はかなり遠回りをしているような気がします。もっとうまい解法があるかも知れません。

参考になれば幸いです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/04 23:06

ああそうか, 3 はそんなに単純じゃないんだ....

えぇと, #2 でも言われているように a が奇数なら b は偶数, c は奇数となります. で 3b^2 = a^2-c^2 とすると右辺は 8の倍数.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/04 16:27

結局示すのは「c が整数にならないこと」なのでそれは省略して

1: a, b を両方奇数とおく.
2: a, b ともに「4の倍数ではない偶数」とおく.
3: a が奇数なら 1 より b は偶数であることが分かる. で, b を「4の倍数でない偶数」とおく.
この手の問題における「巨大なヒント」として「4 で割った余りを考えるといいかもしれない」とだけ言っておこう.