a,b,cを整数とする。 a^2+b^2=c^2のとき、a,b少なくとも一方は偶数である。 これを示

a,b,cを整数とする。
a^2+b^2=c^2のとき、a,b少なくとも一方は偶数である。
これを示せ。

私の解答は間違っていますか？

質問者からの補足コメント

• 正しい解答も教えて頂きたいです！

    補足日時：2020/07/03 21:54

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/07/04 14:52

7月2日に 似た様な質問がありました。

参考になるかも。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11743047.html

No.2 回答者： MayTyu 回答日時： 2020/07/03 22:39

正しい解答です。

（証明）
最初にm^2が偶数ならばmも偶数であることを証明する。【2】

対偶は「ｍが奇数ならばｍ^2は奇数である」　このとき整数ｎを用いて、【1】

ｍ＝2ｎ+1　両辺2乗して
ｍ^2＝4ｎ^2+4ｎ+1
＝2（2ｎ^2+2ｎ）+1

ｎは整数であるから、2ｎ^2+2ｎは整数である。ゆえにｍ^2は奇数である。【1】

よって対偶が真であるからもとの命題「m^2が偶数ならばmも偶数である」も真である。

*******************************************
a^2+b^2=c^2・・・①とする。

背理法を用いて、a,bがともに奇数であると仮定すると　a^2,b^2がともに奇数であるから
a^2+b^2は偶数である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【2】

a^2+b^2=c^2であるから，c^2は偶数である。したがってcも偶数である。【2】

ここで、整数k,l,mを用いて　a=2k+1,　b=2l+1,　c=2m と表す。

a^2+b^2=(2k+1)^2+(2l+1)^2
=4(k^2+l^2+k+l)+2
c^2 =4n^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【1】

ここで、左辺は４で割ると２余るが，右辺は4で割り切れる。これは矛盾する。
よって，a,bの少なくとも一方は偶数である。　　　　　　　　　　　　　　　　【1】　（証明終わり）

最初の証明は、特に前問がない場合は書かないといけません。
だからこうしてみると長い証明ですね。


☆ポイント

①対偶を最初に使う。
②背理法はその次
③４で割ると２余るが，右辺は4で割り切れる、という矛盾をうまく導く。

ｃも偶数か奇数か見分けるのがみそでした。

（余談）質問とは関係ないです

この問題は本当は難易度5中3くらいですがここまで求めると4に跳ね上がります。
10点問題になりますね。証明中の【】はつけるとする点数です。大事なポイントの比重だと思ってください。

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2020/07/03 21:43

背理法を用いて、aもbも奇数であるとすると矛盾が生じることを閉めそうとしたのはOKですが、解答は間違っています。

どこがまずいかというと、最後の2行だけ。
1行目～6行目までで、
a^2+b^2=c^2のとき、c^2=2(2k^2+2k+2s^2+2s+1) を示せています。
c^2は平方数であるべきですが、右辺を見ると！