命題の証明がわかりません

a, b, cを整数とするとき
a^2+b^2=c^2ならば、aまたはbは偶数である

↑を背理法を使って解くらしいのですが、どうしてもわかりません

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/03 13:41

a^2+b^2=c^2ならば、a、bともに奇数である

としてしまって、その矛盾を導きます
a=2k+1,b=2m+1とおけるから
左辺=(2k+1)²+(2m+1)²=4(k^2+m^2+k+m)+2
基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)に当てはめてみると
これは　左辺を４で割るとあまり２　という意味
左辺が右辺のようにある整数c^2になっているのかが分かればよいわけだが
難しい
（たぶんそういう整数はない、左辺は√にすると整数にならないはず）
そこで、右辺も４でわってあまり２にならないことを示しに行く方針を取ってみる
ｃが偶数の場合
c=2nとおけるから
ｃ²=4n²
これは基本公式より４で割ると　あまり０
Cが奇数なら
c²は=(2n+1)²=4(n^2+n)+1
これはあまり１
これらからいえることは、a,bが両方とも奇数なら
左辺=4x整数+あまり２
右辺=4ｘ整数'+あまり０か１で
あまりが食い違うから
左辺=右辺となることが決してない！
この矛盾が生じた原因は
a、bともに奇数であるとしたことにあるから
正しいのは「a^2+b^2=c^2ならば、aまたはbは偶数である」
この要領で記述です

この回答へのお礼

わかりやすいです！
回答ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/03 17:09

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/03 13:56

aとbが奇数なら

a=2m+1
b=2n+1
a²+b²=4(m²+n²+m+n)+2
つまり
a²+b² mod 4 =2

一方、c²が偶数になるには、cが偶数でなけれはならないから
c=2k
c²=4k² つまり c² mod 4=0

つまり
剰余の異なる数は決して同じにならないから、
aとbが奇数の場合、対応する整数cは存在しません。

この回答へのお礼

合同式を使っても解けるんですね！
回答ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/03 17:09

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/02/03 13:36

「aまたはbは偶数」の反対は「a と bは 奇数」。

つまり a² も b² も 奇数になり、c は 偶数でなければならない。
従って a, b の 少なくとも どちらかは 偶数になる筈。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/03 17:09

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/02/03 13:31

a,bどちらも奇数だと仮定すると矛盾が生ずるから、「a,bどちらも奇数」が否定される。

つまりa,bの少なくとも片方は偶数。

奇数だから
a=2m+1、b=2n+1と置いてa²+b²を計算する。
計算すると、4(○○・・・)+2の形になる。
[4で割ると2余る]

次にcが奇数の場合のc²、偶数の場合のc²を計算する。
これを4(○○・・・)+△の形に変形して△が2にならない事を言う。

それが=で等しいとなってるので矛盾、と言う。

この回答へのお礼

なるほど！
回答ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/03 17:10

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/02/03 13:28

aとbが双方奇数であれば、

a=2ｍ+1
b=2n+1
m,n∈Z
a²+b²＝(2m+1)²+(2n+1)²＝4m²+4ｍ+1+4ｎ²+4n+1=2(2m²+2ｍ+2n²+2ｎ+1)＝c²
⇒c²は偶数である
⇒ｃは偶数である
⇒a²+ｂ²＝（2ｋ）²＝4ｋ²　k∈Ｚ
⇒2(2m²+2ｍ+2n²+2ｎ+1)＝4k²
⇒2m²+2ｍ+2n²+2ｎ+1＝2ｋ²
⇒2(m²+ｍ+ｎ²+n)+1=2k²　
2(m²+ｍ+ｎ²+n)+1は奇数なので、ｘ
a,b の双方が奇数ということはない。
（aまたはbのどちらかもしくは双方は偶数である）

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/03 17:10